Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
точку.
?
Глава II. Кинематика твердого тела
73
Проведем через точку О твердого тела три взаимно перпендикулярные оси Охуг, движущиеся вместе с точкой О поступательно со скоростью, равной скорости а точки О. Движение тела по отношению к этим осям есть мгновенное вращение ад вокруг оси, проходящей через точку О, так как относительная скорость этой точки равна нулю. Переносное движение есть поступательное движение со скоростью и; это и будут два составляющие движения, указанные в формулировке теоремы.
Проекции скорости я какой-нибудь точки М (х, у, г) твердого тела на подвижные оси Охуг (или на параллельные им неподвижные оси) легко получить, принимая во внимание это разложение. Пусть их, иу, иг—-проекции скорости в точки О] р, q, г — проекции мгновенной угловой скорости w. Проекции vx, vy, vg вектора v представляют собой суммы проекций скоростей поступательного и вращательного движений; поэтому, согласно формулам (1) п° 55, будем иметь:
+ ^ — O'. vu^uv + rx — Pz’
= hpy—qx.
Эти формулы дают распрепеление скоростей в движущемся твердом теле в момент t. Они зависят от шести параметров их, иу, и3 и р, q, г, являющихся, вообще говоря, функциями от t.
Мы пришли, таким образом, к заключению, высказанному в виде теоремы в начале настоящего параграфа. Так как мгновенное поступательное движение эквивалентно паре вращений, движение твердого тела может быть разложено на три вращения, из которых два составляют пару, тогда скорости точек тела представляют собой результирующие моменты системы, состоящей из трех векторов угловых скоростей.
Система, состоящая.из вектора и пары (определяющих соответственно вращение и поступательное движение) может быть заменена совершеиир другой системой, эквивалентной
74 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
первой системе и состоящей тоже из вектора (вращение) и пары (поступательное движение). Если точка О (центр приведения) выбрана на центральной оси, то осевой момент пары параллелен вектору. Момент пары дает скорость точки О и, следовательно, скорость поступательного движения; вектор же представляет собой угловую скорость вращения вокруг точки О. Мы получили, таким образом, следующую теорему Моцци:
Теорема. — В любой момент времени скорости всеЛ точек свободного твердого тела таковы, как если бы тело вращалось вокруг некоторой оси и в то же время скользило вдоль этой оси, которая называется мгновенной осью вращения и скольжения (или осью Моцци).
Примером непрерывного движения, при котором твердое тело вращается вокруг неподвижной оси и в то же время скользит вдоль этой оси, является движение винта в своей гайке. Такое движение называется поэтому винтовым движением.
Два различных непрерывных движения твердого тела называются касательными в момент t, если в этот момент одни и те же точки тела имеют соответственно одинаковые скорости в обоих движениях. В соответствии с этим, теорема Моцци утверждает, что в каждый момент времени существует мгновенное винтовое движение, касательное к движению твердого тела. Можно также сказать, что самое общее мгновенное движение свободного твердого тела есть винтовое. Очевидно, что в частных случаях это движение может приводиться к одному вращению, к одному поступательному движению или даже к мгновенному покою.
67. Определение оси Моцци при помощи скоростей трех точек твердого тела. — Пусть v, v' и v" — скорости трех точек А, В и С (не лежащих на одной прямой). Движение твердого тела складывается из переносного поступательного движения со скоростью v точки А и из относительного вращательного движения вокруг этой точки.
Глава //. Кинематика твердого тела
В этом относительном движении геометрические скоррсти точек В к С равны v' — v и v" — v. Следовательно, плоскости, проведенные соответственно через точки В и С перпендикулярно к каждому из двух написанных векторов, пересекаются по оси о> относительного вращения. Проекция скорости v на определенное таким способом направление есть скорость скольжения и вдоль оси Моцци. Следовательно, известные разности v'— и, v"— и представляют скорости точек В и С во вращательном движении вокруг оси Моцци, а потому плоскости, проведенные соответственно через В к С перпендикулярно к каждому из этих двух векторов, пересекаются по оси Моцци.
Чтобы определить направление центральной оси и скольжение и вдоль этой оси, можно еще поступать следующим образом.
От точки О, взятой в пространстве произвольно, откладывают скорости v, v' и v" трех точек твердого тела. Пусть А', В', С' —концы этих трех векторов; стороны треугольника А'В'С' геометрически равны разностям трех скоростей, взятых попарно. Поэтому центральная ось будет перпендикулярна к плоскости треугольника А'В'С', откуда следует, что скольжение и тела (проекция v на центральную ось) есть перпендикуляр, опущенный из точки О на плоскость А'В'С'.
§ 4. НЕПРЕРЫВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В ЕЕ ПЛОСКОСТИ
