Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
59. Приведение нескольких одновременных мгновенных поступательных движений и вращений. — Мгновенное поступательное движение может быть заменено парой мгновенных вращений; поэтому достаточно рассмотреть произвольное число мгновенных вращений и)и w2,... Эта система векторов w может быть приведена или к двум векторам (п° 27), или к одному вектору, приложенному в выбранном центре приведения, и к паре (п° 25). Таким образом, любая система одновременных мгновенных поступательных движений и вращений может быть приведена по желанию или к двум вращениям, или к вращению, ось которого проходит через произвольно выбранную точку О (центр приведения), и поступательному движению, скорость которого равна скорости точки О.
Скорость поступательного движения зависит от выбора точки О, угловая же скорость вращения при любом центре приведения одна и та же(как геометрическая сумма векторов). Если центр приведения взят на центральной оси системы векторов to, то осевой момент пары получает наименьшее значение и параллелен геометрической сумме
5*
&V Часть первая. Кинематика точки и твердого Тела
векторов. Отсюда следует, что при приведении одновременных движений твердого тела центр приведения можно выбрать таким образом, что ось вращения будет параллельна скорости поступательного движения. В этом случае ось вращения, являющаяся центральной осью системы, называется мгновенной осью вращения и скольжения, или осью Моцци. Мы увидим в следующем параграфе, что всякое движение твердою тела в каждый данный момент может быть разложено на мгновенные поступательное и вращательное движения и что, следовательно, только что описанное нами мгновенное движение представляет собой наиболее общее движение, которое можно сообщтть feep-дому телу.
В частности, геометрическая сумма вращений может быть равна нулю, тогда мгновенное движение приводится к поступательному; далее, если обращается в нуль момент результирующей пары, то движение приводится к мгновенному вращению, Наконец, если геометрическая сумма вращений и момент результирующей пары равны нулю, то состояние твердого тела в момент t есть мгновенный покой.
§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ДВИЖУЩЕМСЯ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
60. Общие положения. — Основной результат, к которому мы придем в этом параграфе, заключается в том, что распределение скоростей в твердом теле при любом его движении таково же, как и распределение моментов некоторой системы векторов относительно различных точек пространства. Чтобы обнаружить это, мы докажем, что самое общее мгнозенное движение твердого тела приводится к системе трех вращений. Скорости различных точек твердого тела представляют собой при этом результирующие моменты системы трех векторов, представляющих эги вращения После того как этот результат будет установлен, изучение распределения скоростей в твердом теле сведется к изучению изменения результирующего момента некоторой системы векторов при переходе от
Глава II. Кинематика твердого тела
69
одной точки пространства к другой, что составляет содержание параграфа 2 введения к курсу.
Мы установим указанный результат возможно более простым способом.
Положение твердого тела определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой. Отсюда следует, что перемещения всех точек тела за промежуток времени Д/ опредекяются перемещениями трех его точек, не лежащих на одной прямой. Непрерывное движение твердого тела определяется поэтому также движением трех его точек, и можно предвидеть на основании сказанного, что достаточно знать скорости трех точек тела, не лежащих на одной прямой, чтобы определить скорости всех других его точек. Мы укажем здесь одну очень простую теорему, которая позволяет построить все эти скорости при помощи трех из них. Эта теорема заключается в следующем:
61. Теорема. — При движении прямой геометрическая, разность скоростей v и v' двух точек ее А и В перпендикулярна к этой прямой.
Проведем через точку А прямой три оси Ахуг, движущиеся поступательно со скоростью v этой точки. В своем движении относительно этих осей точка В прямой перемещается по сфере с центром в А. Отсюда следует, что ее относительная скорость,представляющая собой нечто иное, как разность vr — v, перпендикулярна к радиусу АВ этоИ сферы.
Эта теорема допускает другую формулировку. Если спроектировать на прямую АВ скорости двух ее точек, то получим:
пр. v' — пр. о = пр. (V — v) = 0.
Отсюда следует, что проекция v' равна проекции v. Поэтому указанная теорема может быть выражена также следующим образом:
При движении прямой проекции (прямоугольные) скоростей точек на прямую одинаковы для всех точек
70 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
прямой:); эту общую проекцию можно назвать скоростью скольжения прямой (или просто скольжением). Если скольжение прямой равно нулю, то скорость каждой из ее точек перпендикулярна к прямой (или равна нулю).
62. Теорема. — Скорость любой точки твердого тела определяется скоростями трех его точек А, В, С, не лежащих на одной прямой 2).
