Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
328
Часть третья. Статика
в нуль результирующий момент реакций относительно той точки, в которой линия действия F пересекает плоскость.
Они и достаточны, так как если они имеют место, то силу F можно разложить на параллельные и одинаково ориентированные силы, приложенные в вершинах опорного многоугольника, так что они уравновешены сопротивлением неподвижной плоскости.
Если тело опирается на плоскость своей плоской гранью, то условия равновесия будут те же, за исключением того, что опорный многоугольник будет заменен выпуклой линией (опорной линией), представляющей собою границу площади соприкосновения.
Устойчивость равновесия может в этом случае рассматриваться с двух точек зрения. Равновесие нарушается или при опрокидывании тела, или при его скольжении по плоскости. Против первой возможности мы будем гарантированы тем больше, чем дальше от краев опорного многоугольника сила F пересекает плоскость; против второй— чем меньше будет угол между силой F и нормалью к плоскости по сравнению с критическим углом (с углом трения).
264. Наклонная плоскость. — Предыдущие рассуждения можно применить к тяжелому телу веса Р, на которое, кроме веса, действует сила F, приложенная к его центру тяжести. Пусть тело опирается на наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол а. Условия равновесия будут следующие: 1° равнодействующая P-j-F, приложенная к центру тяжести, должна быть ориентирована так, чтобы она прижимала тело к плоскости; 2° она должна пересекать эту плоскость внутри опорного многоугольника; 3° она должна составлять с нормалью к плоскости угол, меньший угла трения.
Рассмотрим, в частности, тот случай, когда тело находится только под действием своего веса, так что первое условие всегда выполняется. Условия равновесия заключаются тогда в том, что центр тяжести должен лежать на вертикали,
Глава XI, Трение
329
пересекающей опорный многоугольник, и угол а плоскости с горизонтом должен быть меньше угла трения. Устойчивость будет тем больше, чем меньше будет угол а, что очевидно без доказательства.
285. Равновесие лестницы. — Рассмотрим условия равновесия лестницы, опирающейся своими концами на горизонтальный пол и вертикальную стену, ось которой лежит в вертикальной плоскости, перпендикулярной к стене.
Заметим сначала, что равновесие было бы невозможно, если бы не было трения лестницы о пол. В самом деле, прямо приложенными силами являются собственный вес лестницы и дополнительный вес человека или нескольких человек, которые по ней поднимаются; эти силы имеют вертикальную равнодействующую Р, приложенную в некоторой точке лестницы. Если бы реакция пола была вертикальна, она вместе с равнодействующей Рприводилась
бы или к одной вертикальной силе, или к паре. Ни в одном из этих случаев горизонтальная или наклонная реакция стены не могла бы их уравновесить.
Проведем через ось лестницы вертикальную плоскость, пересекающую пол по оси Ох и стену по оси Оу. Пусть А есть точка опоры лестницы о пол и В— точка опоры ее о стену (фиг. 41). Восставим из этих точек соответственно перпендикуляры АС и ВС к полу и стене. Проведем потом через эти же точки наклонные АС' и ВС', составляющие с проведенными нормалями в прямом направлении (от Ох к Оу) соответственно углы ® и о', являющиеся
330
Часть третья. Статика
углами трения яля пола и стены. Точка С', определенная таким образом, зависит лишь от положения лестницы, но не от грузов, которые она поддерживает. Докажем следующую теорему:
Лестница будет или не будет находиться в равновесии, смотря по тому, расположена точка С' со стороны стены или с противоположной стороны от линии действия равнодействующей Р веса лестницы и грузов, которые она поддерживает.
Действительно, чтобы равновесие имело место, необходимо, чтобы сила Р могла быть разложена на две силы, приложенные в точках А и В и составляющие с нормалями АС и ВС углы, меньше соответствующих углов трения; причем эти углы должны быть отложены от нормалей в сторону положительного вращения. Тогда эти две составляющие пересекутся в точке С" (на линии действия Р) справа от точки С' (фиг. 41), и точка С1 будет лежать со стороны стены от линии действия Р.
С другой стороны, чтобы равновесие не могло иметь места, необходимо, чтобы сила Р раскладывалась на две составляющие, приложенные в точках А и В и образующие с нормалями АС и ВС углы, большие углов трения и отложенные от нормалей попрежнему в сторсну прямого вращения. Эти две составляющие пересекаются тогда в точке С" (на линии действия Р) слева от С', и С' находится от линии действия Р со стороны, противоположной стене.
Так как условия, необходимые в каждом из этих двух случаев, исключают одно другое, то они также и достаточны.
Если угол наклона лестницы к вертикали меньше угла САС\ т. е. угла трения по отношению к полу, то точка С' окажется по другую сторону от вертикальной стены, и равновесие будет иметь место, как бы ни была расположена линия действия равнодействующей Р, т. е. каковы бы ни были положение и величина грузов, поддерживаемых лестницей. Это — единственное условие, при котором равновесие соединено с полной практической безопасностью.
