Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
а) Пусть А — функция переменных Эйлера. Для фиксированной частицы координаты в соответствии с законом ее движения будут функциями времени
x = x(t), y = y(t), z = z(t). (3.1)
Поэтому
A(t) = A[x(t), y(t), z(t), /]; (3.2)
ЗА dx , dA dy . dA dz , дА
Ли — II'ЧГ + Ту 1Г + ~дГ dt + dt ¦
Но (3.1) есть уравнения движения частицы, следовательно, dx dy dz
= ЧГ===Х)У’ 4t=v*- <3-4>
Отсюда
(3-5)
Часто для индивидуальной производной в переменных Эйле-
dA DA
ра используются обозначения • В дальнейшем мы при»
мем обозначение-^-. Таким образом,
.г dA дА . дА . дА . дА
л- = -5Г“-вГ+^-аГ + ^11Г + 0*'вГ- (3‘6)
б) Пусть А — функция переменных Лагранжа: А = А(а,Ь,
c,t). Для выделенной частицы аргументы а, Ь, с фиксированы, изменяется только время. Поэтому
х=4г- (з-?)
Местная производная. Пусть в пространстве зафиксирована некоторая точка. Через эту точку в разные моменты времени будут проходить разные частицы. Каждой из них соответствует некоторая гидродинамическая величина А. В фиксированной точке пространства
A —A (t). (3.8)
Изменение величины А в фиксированной точке пространства характеризуется производной А до времени, которая называется местной (локальной) производной по времени Аы.
а) Пусть А — функция переменных Эйлера, т. е. А —
— A(x,y,z,t). Так как х, у, z фиксированы, то местная производная есть частная производная
X = (3.9)
12
б) Пусть А — функция переменных Лагранжа: А= А (а, Ь, с. О- В разные моменты времени через фиксированную точку Л1 пространства проходят разные частицы с разными значениями
а, Ь, с. Но так как в каждый момент времени в точке М оказывается одна частица, то можно записать
а = а (О, b = b (0, с —с (/).
Таким образом, для фиксированной точки пространства
А = А [а (О, b (0, с (0, t]
и
__ дА da | дА db , дА dc , дА |т
Лм ~ да dt + db dt ^ дс dt ' (о.Ш)
Эта формула приобретает значение, если известны производные 4г’ ЧТ ’ ЧГ' Вычислим их. Так как движение задано в переменных Лагранжа, то известна связь (1.1). Дифференцируя по t обе части (1.1) и учитывая, что х, у, z фиксированы, получим „ _________________ дх da . дх db . дх dc . дх
Та''1Г'^~дЬ'ЧГ'^~дс'Ж'^~дГ’
„ _ ду_ da_ , ду db_ . ду dc . ду
да dt db dt ^ дс dt ^ dt '
„ __ dz da , dz db , dz dc . dz
da dt ' db dt *’*” dc dt ' dt '
Система (3.11) — система трех линейных уравнений относитель-
da db dc гу * но производных * -jf, -jf- Якобиан системы не равен нулю.
Решая систему (3.11) относительно и подстав-
ляя эти решения в (3.10), приходим к формуле для местной производной
D (Л, х, у, z)
л' — D (*¦ “• Ь• с> /О 12ч
Лм D (х, у, z) ¦
D (а, Ь, с)
§ 4. УСТАНОВИВШЕЕСЯ И НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
Течение жидкости называется установившимся, или стационарным, если в каждой фиксированной точке пространства, принадлежащей области движения, все гидродинамические величины не зависят от времени. Это означает, что если А — некоторая величина, характеризующая движение, то местная производная А'м = 0.
В переменных Эйлера Лм=-^у-, т. е.
~ = 0, А = А (х, у, z).
13
В переменных Лагранжа для местной производной имеем формулу (3.12). Так как А Ф 0, то признаком установившегося движения в переменных Лагранжа должно быть равенство
D (А, х, у, г) „ . . , .
D(t, а, Ь, с) =0’ так ЧТ0 А = А(х, у, г).
Если гидродинамические величины во всем пространстве, занятом жидкостью, или в какой-либо части его изменяются с течением времени, то движение называется неустановившимся, или нестационарным. Заметим, что при переходе от одной системы координат к другой установившееся движение может перейти в неустановившееся, и наоборот.
§ 5. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ
Скорость частицы является индивидуальной производной от радиус-вектора по времени, ускорение — индивидуальной производной от вектора скорости по времени, т. е.
у = С * = <=<¦
Если задача о движении жидкости решается в переменных Эйлера, то
vx -- Vx (х, у, Z, 0, Vy = Vy (х, у, Z, о, Vz = vz (х, у, z, t). Ускорение можно вычислить, используя формулу (3.6):
