Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
При выполнении условий (6.1), как известно, линейная дифференциальная форма vxdx + Vydy + vzdz будет полным дифференциалом некоторой функции ср для любого фиксированного момента времени. Иначе говоря, существует такая функция Ф(а\ у, г, t), для которой полный дифференциал при постоянном t вычисляется по формуле
dq> = vx dx + vy dy + vz dz.
Но поскольку
d<P = |j dx + ^-dy + ^dz,
то, следовательно,
*.-&¦ м
т. e. компоненты скорости есть частные производные от функции ф(х, у, z, t) по координатам. Функцию ф называют потенциалом скоростей, а безвихревые движения называют потенциальными. Для установившихся движений ф = ф (х, у, z). Равенства (6.2) равносильны векторному равенству
v = grad ф,
которое следует и непосредственно из (6.1).
119
§ 7. ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА
Сделаем предположения: 1) жидкость идеальна; 2) имеется баротропность во всем пространстве, занятом жидкостью, т. е. р = Ф(р); 3) массовые силы консервативны; 4) движение безвихревое.
Для безвихревого движения идеальной жидкости уравнение
(5.6) принимает вид
|f + grad (-j-) = F - j grad p. (7.1)
Так как жидкость баротропна, то может быть введена функция
j- grad р = grad Р. (7.3)
Предположение 3) означает, что
F = — grad V. (7.4)
Из предположения 4) следует, что
v = grad ф, -g-=grad-^. (7.5)
Подставив (7.3), (7.4), (7.5) в (7.1), получим
grad (^ + -f + F + P) = 0. (7.6)
Из равенства (7.6) следует, что выражение в скобках не зави-
сит от координат, но может зависеть от времени:
¦jf- + -T + V + P = f(t). (7.7)
Полученное соотношение носит название интеграла Лагранжа. Интеграл Лагранжа можно записать в виде
¦?¦+f [(&)’+(f)2+(tЛ+V+PW=lю. (7.8)
Предположим, что мы нашли ф(x,y,z,t) и что функция f(t) известна. Тогда из (7.8) можно найти давление р, а затем и Р = Ф(/>).
Функцию f(t), входящую в правую часть (7.8), можно считать равной нулю, так как потенциал скоростей определяется с точностью до функции времени. Действительно, если Ф (x,y,z,t)—потенциал скоростей, то любая функция вида ф' —Ф + 5(^) также есть потенциал скоростей (gradф/ =
= gradф). Пользуясь этим, можно ввести функцию ф так, что
1ф = ф-$/(0<й.
120
Интеграл Лагранжа запишется в виде
^ + ^ + V + P(p) = 0.
Сравним интеграл Лагранжа и интеграл Бернулли. Как мы видели, уравнение Эйлера при соответствующих условиях приводит к этим интегралам. Интеграл Лагранжа в некотором смысле более общий, чем интеграл Бернулли, так как годится и для неустановившихся движений. Но он менее общий в том смысле, что требует безвихревого движения и полной баротроп-ности (в интеграле Бернулли достаточно баротропности только на линии тока). Область действия этих интегралов разная.
§ 8. ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА — БЕРНУЛЛИ
Предположим, что жидкость идеальна, баротропна, массовые силы имеют потенциал, движение безвихревое и установившееся. Первые четыре предположения позволяют написать интеграл Лагранжа
^- + ^-+V + P = f(t). (8.1)
Так как движение установившееся, то vx, vy, vz, а следовательно, и ф не зависят от времени, т. е. ф = ф(*, у, z). Тогда выпадает из (8.1), и f(t) переходит в постоянную. Имеем
JL- + V + P = C. (8.2)
Интеграл (8.2) носит название интеграла Эйлера — Бернулли. Здесь постоянная С одна и та же для всего потока в отличие от интеграла Бернулли, в котором постоянная С на разных линиях тока различна.
§ 9. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ
1. Несжимаемая жидкость. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
dvx dvu dvz
—1 -I___y- -I____- = 0
dx ' dy ' dz
Так как движение потенциально, то
х dx ' V« ду ’ Vz~~ dz *
Подставляя vx, vy, vz в уравнение неразрывности, получаем уравнение для потенциала скоростей несжимаемой жидкости
d2ф . d2ф . д2ср _п
dx2 diг "т" дг2
Уравнение для ф есть уравнение Лапласа,
121
2. Сжимаемая жидкость. Рассматриваем безвихревое движение идеальной баротропной жидкости. Считаем, что массовые силы отсутствуют. В силу этих предположений можем написать
v = gradqp; (9.1)
Р = Ф (РУ, (9.2)
1г+т + 5жет=0- (9'3>
Интеграл Лагранжа (9.3) заменяет уравнение Эйлера. К уравнениям (9.1), (9.2), (9.3) следует присоединить уравнение не-
