Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
для точек А и В этой линии, будем Va П иметь
Так как s/S <Cl, то можно написать
v ss -^2gH.
падающей с высоты Н.
2. Истечение газа из со-
Рис. 13.
? суда через малое отверстие. Рассматриваем газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, для которого справедлива адиабата Пуассона. Пусть газ вытекает в ат-
116
щей струн. Для точек А и В можно записать адиабату Пуассона
(1.11) и интеграл Бернулли (2.19):
Ра Рв
— 4-2 ^
k- 1
Л.
Рд
Ра_
Ра
Р в
1
При
нять
и малом отверстии va рА = р0. Обозначая vD =
большом сосуде ь’л = 0, рА = Ро, получаем из интеграла Бернулли (4.1)
k_
' Ро
(4.1)
Рв Рв '
<С Vr и можно при-
Рв = р, рв = р,
_
~2
к
Из условия адиабатичности следует
Р V/*
Подставляя (4.3) в (4.2), найдем скорость истечения
_ ( Ро Р Л
1 V ро Р /
дует ( Р V
(4.2)
(4.3)
v
(4.4)
Ро L V ро.
Формулы (4.3) и (4.4) дают решение задачи.
Рассмотрим полученное решение. Чтобы оно имело смысл, нужно, чтобы р ^ ро- Введем величину q = pv — расход на единицу площади. Используя (4.3) и (4.4), получаем
ч = Ь - I**']
Формула (4.5) позволяет исследовать зависимость q от
(4.5) 1 =
Ро
среды, в которую выте-равновесие, газ течь не
или, если ро постоянно, от р — давления кает газ. При ? = 1, т. е. р = р0, имеем будет. При уменьшении р, т. е. |, расход увеличивается и при некотором 7 5=1* достигает максимума. При дальнейшем уменьшении | величина q уменьшается, обращаясь в нуль при | = 0 (рис. 14). Эксперименты подтверждают справедливость зависимости g(l) лишь для I > При I < |* в действительности расход остается по- 1 стоянным, равным максимальному.
Максимальное значение расхода q* =
= q(%*) достигается, когда скорость равной скорости звука. Дальнейшее понижение давления р уже ке оказывает влияния на истечение из отверстия — возмущения из внешней среды не проникают внутрь (скорость распространения возмущений — скорость звука — будет меньше скорости газа
истечения оказывается
117
в струе). При | <С ?*, когда струя становится сверхзвуковой, предположение об одномерности течения оказывается неверным, надо учитывать пространственный характер течения.
§ 5. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА В ФОРМЕ ГРОМЕКИ — ЛЭМБА
Выпишем уравнение Эйлера
4г = F - 7 grad Р- (5.1)
Введем в рассмотрение оператор V и скалярное произведение v-V:
V = i^ + ii + k^--
Применим оператор (5.2) к вектору скорости v:
/ dv , dv , dv
(v-V)-v = U,^7 + U,w + U^ (5.3)
и используем (5.3) при записи вектора ускорения в уравнении (5.1):
4relr + (vV)-v.
+ (v • V) v = F —grad p. (5.4)
Легко проверить следующее тождество:
(v • V)v = grad (-у-) — vX rot v. (5.5)
С учетом (5.5) уравнение Эйлера (5.4) запишется в виде
4- grad (-у) — vXrotv = F — ^ grad р. (5.6)
Уравнение (5.6) — уравнение Эйлера в форме Громеки — Лэмба. Запишем (5.6) в проекциях на оси, используя обозначение rot v = Q:
т + -L (т) - -»А) - F, - } |г-,
тг+4 (тг) - -0 (5'6/)
1ST + 7Т Of) - СА - 0»й«>- f«- 7 If •¦
Здесь v2 = v\ v2 + v\,
.(dvz dvy\ / dvx dvz\ / dv„ dvx \
Q==i\Tf ~ dz ) + J WT _ U7J + k ~ (6J)
118
Уравнения Громеки — Лэмба содержат в явном виде вектор вихря Q.
Существует важный класс движений, для которых rot v = = Q = 0. Такие движения называют безвихревыми. Для безвихревых движений уравнения (5.6) имеют значительно более простой вид, чем исходные уравнения Эйлера.
§ 6. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ, ИЛИ БЕЗВИХРЕВЫЕ, ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим безвихревые движения, т. е. движения, для которых
Q = rotv = 0, (6.1)
или в проекциях на оси координат
dvz dvy
— ду дг
1г—й-=°* (в-n
dvu dvx
дх ду