Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
S’==v- -5f'dr = dv-v=Yd(v-v) = d(4)- (2б)
Кроме того,
grad V - dr = dV, grad p • dr — dp. (2.7)
Подставив (2.6) и (2.7) в (2.5), получим
= - dV-^dp. (2.8)
Имея в виду (2.4), введем функцию Р(р, С):
<2-9>
С учетом (2.9) равенство (2.8) можно переписать в виде
d[^- + V + р) = 0. (2.10)
Отсюда
+ V + Р = const. (2.11)
2
Равенства (2.10) и (2.11) имеют место на любой линии тока, но постоянная в правой части (2.11) может изменяться при
111
переходе от одной линии тока к другой. Равенство (2.11) называют интегралом Бернулли.
Рассмотрим интеграл Бернулли для двух важных случаев.
1. Однородная несжимаемая жидкость. В этом
Sp (? j
— = — (Р — Ро)-
Р. 1 Р Р
Интеграл Бернулли примет вид
Т'+,/ + 7==с- {2Л2)
Если массовые силы — силы тяжести, то V = gz и интеграл Бернулли в этом случае
4 + gz + f = C, (2.13)
или
-f г -f S- = С'. (2.14)
2g 1 1 pg v '
Отдельные слагаемые в (2.14) имеют размерность длины и на-
v2 ,
зываются соответственно:-5-= лс— скоростной, z — геометри-
^8
ческой, — пьезометрической высотами. Равенство (2.14)
позволяет дать такую формулировку интергала Бернулли: при движении однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести сумма скоростной, пьезометрической и геометрической высот постоянна вдоль линии тока.
2. Совершенный газ. В этом случае уравнение состоя-
D
ния есть уравнение Клапейрона р = -^-рТ, cv = const. При сделанных в этой главе предположениях имеет место адиабата Пуассона (1.11). Введем новую постоянную D = Сик. Тогда
-P- = Dk, - = Dp-l'k. (2.15)
Рк Р г ;
Учитывая (2.15), вычисляем Р(р):
р'М “ \ f = \ 0р~жdp = D т^т Р~* = Т*Т J¦ (2-|6)
Подставив (2.16) в (2.11), получим интеграл Бернулли в виде
t + v + T^ii = c- <2Л7)
Из физики известно, что производная равна квадрату скорости звука. В случае адиабатического процесса можно убедиться, что а- = = k -?•. Таким образом,
^ + V +Т^ГТ = С. (2.18)
112
Эта формула является одной из важных формул газовой динамики. В газовой динамике обычно массовые силы не учитывают, а постоянную С обозначают через ?о. В этом случае интеграл Бернулли принимает вид
Здесь v — скорость газа, а — скорость звука в той же точке.
Чтобы определить постоянную в правой части (2.19), достаточно знать характеристики в какой-либо одной точке линии тока. Из (2.19) следует, что скорость звука и температура, а с учетом (2.15), и давление и плотность будут максимальными на линии тока в точке, где скорость равна нулю. Эти величины обычно обозначают через а0, Та, р0, р0 и называют параметрами адиабатически заторможенного газа (параметрами торможения). Величину i = узу = срТ = ~ называют энтальпией
(теплосодержанием). Соответственно постоянную (0 в правой части интеграла (2.19) называют энтальпией торможения. Положив в (2.19) скорость v = О, получим выражение для i0 через параметры заторможенного газа:
Может случиться, что в некоторой точке скорость газа окажется равной скорости распространения звука в данном месте, т. е. v = а = а*. Полагая в (2.19) v — а — а», получаем выражение to через критическую скорость а„.
Из этого равенства следует: если v > а*, то тогда v > а, т. е. поток сверхзвуковой;
если v < а», то v < а, т. е. поток дозвуковой. Поэтому скорость а* и называют критической.
§ 3. ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ В СЛУЧАЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С УСЛОЖНЕННОЙ ТЕРМОДИНАМИКОЙ
В термодинамике энтальпия единицы массы газа определяется выражением
(2.19)
*° 2* k — 1 k — 1 2 ‘
Соответственно интеграл Бернулли запишется в виде
t)2 ( a2 k + 1 а2
TJrk^\z='T=rT~f'
(3.1)
ИЗ
Следовательно, при малых изменениях параметров состояния di-dE + pd (7) + ^.
На основании первого начала термодинамики сумма dE + pd )
равна притоку тепла dq к системе. Если приток тепла к системе или отвод тепла от нее отсутствует, т. е. если процесс адиабатический, то dq = 0 и di = -^~. Таким образом, для адиабатического процесса равенство (2.8) (при отсутствии массовых сил)
