Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р др dt
+ (р Ц-- f-)-я-— О'4»
р дЕ
dp ______ р2 др
dp дЕ
др
(1.5)
Правая часть (1.5)—известная функция р и р, обозначим ее через Q(p, р):
% = Q(p,p)- (1.50
Уравнение (1.50—обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно связывает изменение давления с изменением плотности в движущейся частице, поскольку уравнение (1.5) получено из уравнения (1.4), в которое входили полные производные и -^у-. Проинтегрировав (1.5), получим
P(P,Q) = C. (1.6)
Здесь С — постоянная интегрирования, сохраняющая свое значение для движущейся частицы. При переходе от одной частицы к другой значение С может изменяться. Если бы движение рассматривалось в переменных Лагранжа (a, b,c,t), то можно было бы записать С = С (а, Ь, с).
Равенство (1.6) означает, что плотность в движущейся частице является функцией одного только давления:
р = ф(р,с), (1.60
т. е. имеется баротропность для частиц. Интеграл (1.6) называется адиабатой.
Возможны случаи, когда постоянная С, входящая в (1.6), постоянна для некоторой совокупности частиц. Так, для
109
установившегося движения С имеет постоянное значение на линии тока. Действительно, при установившемся движении траектории и линии тока совпадают. Возьмем точку М на линии тока, в ней постоянны давление рм и плотность рм. Для любой частицы, прошедшей через эту точку, можно записать С = @~(рм, рм). Для частиц, движущихся вдоль линии тока, проходящей через точку М, будет справедливо равенство 8Г(р, р) = @~(рм, рм)• Таким образом, для установившегося течения имеется баротроп-ность на линии тока. Встречаются случаи движения, когда постоянная С одинакова для всех частиц жидкости, т. е. имеется баротропность во всем пространстве, занятом жидкостью.
Пример. Адиабата Пуассона. Рассмотрим газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона
Р-
Пусть cv и Ср — теплоемкость газа при постоянном объеме и постоянном давлении; предполагается, что они постоянны. В этом случае внутренняя энергия
E = cJ. (1.8)
Учтем известное соотношение ср — cv = -^- и, выразив Т из
(1.7) через р и р, подставим Т в (1.8):
-р или ? = -1т^. (1.9)
СР — Cv р ft — 1 р
Отношение cp/cv = k называют показателем адиабаты. Уравнение (1.5) при таком выражении для Е примет вид
w=kj- <uo>
Интегрируя последнее уравнение, получаем соотношение, кото-
рое называют адиабатой Пуассона:
р = Ср*. (1.11)
Соотношение (1.11) имеет место в частице. Постоянная С может изменяться от частицы к частице. При установившемся дви-
жении С (т. е. р/рк) постоянна на линии тока.
Замечание. Предположение о постоянстве ср и с0, при
котором получено соотношение (1.11), справедливо в опреде-
ленном диапазоне температур, зависящем от физических свойств
с р R
газа. Величина показателя адиабаты к = — = 1 Н-зависит
Су Су
01 структуры молекул, составляющих газ: для одноатомных га-
3 5
зов cv = -^R и k=-r\ для двухатомных, когда энергию коле-
Z о
бательного движения молекул практически можно не учиты-
5 п и 7
вать, cv = 1rR и R — -r и т. д.
ПО
§ 2. ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ
Предположим, что жидкость идеальна, массовые силы консервативны, движение установившееся, имеет место баротроп-ность на линии тока.
Так как жидкость идеальна, то уравнение движения
|7 = F--igrad р. (2.1)
Так как массовые силы консервативны, то
F = — grad V (2.2)
и уравнение (2.1) можно переписать в виде
= - grad 1/ - i grad p. (2.3)
Предположение о баротропности на линии тока означает, что
р = Ф(р, С), (2.4)
где С постоянна на линии тока.
При установившемся движении траектории и линии тока совпадают. Обозначим через dr(dx,dy,dz) элементарное перемещение вдоль линии тока и умножим скалярно все члены (2.3) на df.
• dr = — grad V • dr — grad p • dr. (2.5)
Так как линия тока является и траекторией, то
