Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(1.1)
(1.2)
57
Полный момент количества движения массы равен
L -- 1*Орб + Lull,
L=SSS[(rXpv)+pM]dT- (1-3)
т
Изменение полного момента количества движения связано с наличием моментов, порождаемых силовыми полями — полем массовых и поверхностных сил, наличием объемно-распределенных источников внутреннего момента и потока внутреннего момента через поверхность. Введем необходимые определения и запишем выражения для моментов внешних сил и внутренних моментов.
На элемент dx с массой dm действует сила pF dx. Орбитальный момент этой силы (г X pF)rft. Главный орбитальный момент массовых сил равен
Mo==SSS(rXpF)dT- (1-4)
X
На элемент поверхности dS с нормалью п действует поверхностная сила xndS. Главный орбитальный момент поверхностных сил
Ms=^(rXTn)d5. (1.5)
s
Пусть за время dt в объеме dx порождается момент pUdxdt, где П — момент, отнесенный к единице массы и единице времени.
Обозначая через Mo" dt приращение за то же время внутреннего
момента в объеме т, получим для М0 выражение
М0ВН = J J J рП dx. (1.6)
Т
Через элемент поверхности dS с нормалью п в течение времени dt проникает момент nndSdt. Здесь яп— плотность потока (проникновения) внутреннего момента. Обозначая через Ms" dt поток за время dt внутреннего момента через поверхность 5, получаем
(1.7)
s
Производная по времени от полного момента количества движения L равна сумме перечисленных четырех моментов. Таким образом, закон момента количества движения запишется в виде
= Mo + Ms + Mqh + Mi", (1.8)
68
или с учетом выражений (1.3) — (1.7)
¦^SSSl(rXpv) + pM] dT=$$$(rXpF)* +
% X
+ 55JpndT+55(rXTra)dS + \\*ndS. (1.9)
т S S
Рассмотрим левую часть равенства (1.9). Воспользуемся формулой (15.7) гл. I, положив в ней /4 = rXpv, и преобразуем первое слагаемое (1.9):
T=4SSS(rXpv)rfT=
1
= J J J \-jj- (г X pv) + (г X pv) div v] dt. (1.10)
X
Выпишем подынтегральное выражение
(г X pv) + (г X pv) div v = x pv + г X P +
+ r X v -^7 + (г X pv) div v = г X P ^7 +
+ (r X v) (-^7- + P div v) . (1.11)
Будем предполагать, что в области, занятой жидкостью, нет источников массы (q = 0). Тогда в силу уравнения неразрывности (2.6) гл. II второе слагаемое в правой части (1.11) обращается в нуль. Производная —jf— с учетом выражения (1.11) запишется в виде
%HSS(rxp?)*- п-12)
х
Интеграл в (1.12) можно трактовать как момент сил инерции, взятый с обратным знаком. Аналогичные преобразования
выражения для дадут
[¦&<<>*»)+Рм <*-»]*=
— HS[p Т + М(-37+Н^)]Л=ЩР-^Л. (1.13)
X X
Таким образом, учитывая (1.3), (1.12) и (1.13), получаем
4r=SSS(r><p4f)dT+SSSp^rrfT- (1Л4)
X X
69
Закон момента количества движения (1.9) с учетом (1.14) можно переписать в виде
SSS[(rXp-57-)+p^r]dT=SSS(rXpF)dT+
X X
+ 555PndT+55(rxTn)ds+55*nds. о.15)
т S S
Преобразуем интегралы по поверхности к интегралам по объему. Воспользуемся формулой Коши для тп:
X тх) cos (fCx) + (Г х ху) cos (гСу) +
S S
+ (г X *z) cos (/Cz)] dS =
“ S S Ц-S' <r x T*> + w(r X V + i{,'/ •¦>]dt= -SSS'X[-? + ? + -?l*+
X
+ SSS[iXT*+iX^+kXTz]dT- (1Л6)
X
Подставим (1.16) в (1.15) и сгруппируем некоторые слагаемые:
ШАЖ г ГГ Г dv дхх dtu дт*~\
"TT*+SSSrX[ P«~PF—гг-Tf—55-]*-
t X
_SSS[IXT*+jx^+kXTjdT-SSSpndT==SS7'"dS-(1Л7)
t t s
Второе слагаемое слева равно нулю в силу закона количества движения. Окончательно закон момента количества движения в интегральной форме запишется в виде
dT-$$J[lXT, + jXT, + kXTjdT-
X X
-^PndT=$$75„dS. (1.18)
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим функцию nn(r,t). Применяя закон сохранения моментов к тетраэдру и действуя так же, как и при выводе формулы Коши, получим аналогичную связь между яп, ях, яу, я2:
