Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валландер С.В. -> "Лекции по гидроаэромеханике" -> 23

Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.

Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике — Л.: ЛГУ, 1978. — 296 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipoaerogidromehanike1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 110 >> Следующая

"^zx X2Z
§ 4. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ

Будем исходить из формулы Коши (3.7). Докажем, что таблица (3.8) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования ш при переходе от одной системы координат х, у, г к другой х', у', z'. Обозначим орты координатных осей соответственно через i, j, к и V, У, к'. Вспомним таблицу (7.1) гл. I для направляющих косинусов спя п будем пользоваться формулой Коши, выбирая за п последовательно V, j', к'. Получим

хх> = Tj-ац + Thetis + т^а[3; (4.1)

Т1/' ~ Т*а21 + хуа2й 4" Тгй23'> (4-2)

V = т,аз[ -Ь туап + тЛз- (4.3)

Рассмотрим одну из этих формул, например (4.1). Представим IV через проекции ху/х', г,у, на оси х', у', г':

f*' = ^ Тх'у/ “|“ j ’•¦Vy' “Ь Ь Тх'г'' (^-4)

Соответственно *х, тг — через проекции на оси х, у, г:

тх = ixxx + j %ху + ктхг,

Ту = fryx + j %, + (4.5)

тг=1тг* + ]^у + ктгг.

Подставляя (4.4) и (4.5) в (4.1), получаем векторное равенство

"Ь **'„'] “Ь ^дт'г'^ =all (Тяж* "4" ^xyl “Н ¦(“

+ «12 (ХУХ{ + tyj -f т?гк) + aI3 (x^i + + хггк). (4,6)

Умножая последовательно (4,6) скалярно на V, j', к', получим выражения для Tx'x't txv> через составляющие таблицы

Т в координатах {х,у,г}. Выпишем одно из равенств (заметим, что (i'*i)—ац. {i/-j)=ai2. (I'-k) = оыз):

Xxrx' ~ aUaU^xx + а11а12тд:у + +

-j- ai2auT yx a|20]2T gy + a12al3Tyz -(-

+ -f- a|34i2T zy + al:JCl|:iTzZ. (4.7)

Используя (4.2) и (4.3), получаем аналогичные выражения для остальных шести составляющих. Из равенства (4.7) видно, что

составляющие таблицы Т при переходе от одной системы

53
ванной площадки может быть вычислено, если известна таблица

из девяти величин:

ХХХ 'Т'Хи Хх

т =

Хух

xzy

(3.8)

§ 4. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

Будем исходить из формулы Коши (3.7). Докажем, что таблица (3.8) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования тпри переходе от одной системы координат х, у, z к другой х', у', z'. Обозначим орты координатных осей соответственно через i, j, k и V, У, к'. Вспомним таблицу (7.1) гл. I для направляющих косинусов ос,-* и будем пользоваться формулой Коши, выбирая за п последовательно i', j', к'. Получим

rx> = txau + туа12 + xzal3; (4.1)

V = rxa2i + tyV-22 + тга23; (4.2)

V = тха31 + туа32 + тга33. (4.3)

Рассмотрим одну из этих формул, например (4.1). Предста-

вим хх' через проекции хх'х’, хх'у', хх'г> на оси х'> У'> z':

тх' == i тхгх' -f- j тх'у' -f- к тх'г'. (4.4)

Соответственно хх, ху, хг — через проекции на оси х, у, г: хх = ixxx -f- ]хХу -f- kxxz,

*У = i *ух + l*yy + kxyz, (4.5)

XZ = i*zx + jrZy + kr22.

Подставляя (4.4) и (4.5) в (4.1), получаем векторное равенство + Гх'у'У + tx’A' = «п (ххх\ + хху\ + т*гк) +

+ <*12 {хух\ + хуу\ + xyz к) + <х13 (xzxi + xzy\ + тггк). (4.6)

Умножая последовательно (4.6) скалярно на V, У, к', получим выражения для хх<х’, хх’у>, хх'г> через составляющие таблицы Т в координатах (х,у,г). Выпишем одно из равенств (заметим, что (iM)=an, (i/-j) = ai2, (i'-k)=ai3):

Хх'х' — allallTJt* + alla12 Xxy + alla13Txz +

+ a\2a\lxyx + a12a12 xyy + а12а13туг +

+ а1заптг* + ai3<* nXZy + ai3a13T г2. (4.7)

Используя (4.2) и (4.3), получаем аналогичные выражения для остальных шести составляющих. Из равенства (4.7) видно, что составляющие таблицы Т при переходе от одной системы

53
координат к другой преобразуются как компоненты аффинного ортогонального тензора второго ранга. Тензор Т = ||т,* | называется тензором напряжений.

Физический смысл компонент тензора напряжений очевиден. Возьмем вектор хх— напряжение на площадку, перпендикулярную оси х (рис. 8):

Хх — + тхгк-

Здесь Тхх — нормальное напряжение; хху, ххг, являющиеся проекциями вектора хх на оси координат у и z, есть напряжения, касательные к площадке.

Таким образом, диагональные компоненты тензора дают нормальные составляющие напряжений, боковые компоненты дают касательные составляющие напряжений, приложенных к площадкам, перпендикулярным осям координат.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed