Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1 СИЛЫ МАССОВЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
Силы, приложенные к частицам жидкости, можно разделить на два класса.
Массовые силы — силы, действующие на каждый элемент объема независимо от того, имеются ли рядом другие части жидкости. Пусть — главный вектор сил, действующих на массу М жидкости, заполняющей объем т. Средней массовой
рЛ1
силой, действующей на массу М, называют величину Fcp = — Вектор
F = limFcp = lim-^- (1.1)
1-»0 г-»0 т
называется массовой силой, действующей в данной точке. Точнее называть вектор F массовой силой, отнесенной к единице массы (в случае сил тяжести F = g).
Обычно сила F известна как функция координат точек пространства и времени F= F (x,y,z, t). Если сила F известна во всех точках выделенного объема т, то можно подсчитать главный вектор F,Vf сил, действующих на массу жидкости в этом объеме. На объем dx с массой dm — рdx действует сила Fdm — = Fpdt. Отсюда главный вектор массовых сил будет
F^=JJJpFdT. (1.2)
Т
Поверхностные силы. Пусть объем т ограничен поверхностью
S. Жидкость, находящаяся вне объема т, действует через поверхность 5 на жидкость внутри т. Силы, с которыми частицы
жидкости, находящиеся снаружи поверхности 5, действуют на поверхностные частицы объема т, называют поверхностными.
Выделим на 5 элемент поверхности AS с нормалью п. Главный вектор поверхностных сил, действующих на AS, обозначим AF^. Среднее напряжение, действующее на площадку AS,
49
будет Пр=-дивектор
называют напряжением поверхностных сил, действующим в рассматриваемой точке (вектором поверхностной силы, отнесенным к единице площади). Вектор тп зависит от координат точки, времени и положения площадки (т. е. от направления нормали п). Из (1.3) следует, что на элемент поверхности dS действует сила т„dS. Главный вектор поверхностных сил, действующих на поверхность 5:
FS=$$T„dS. (1.4)
s
Поверхностные силы описывают взаимодействие между различными областями жидкости.
§ 2, ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Выделим в движущейся жидкости некоторый объем т, ограниченный поверхностью S. Пусть вектор К — количество движения массы жидкости, заполняющей этот объем. В элементарном объеме dx заключена масса pdx. Количество движения этой массы, имеющей скорость v:
ДК = pv dx.
Количество движения массы, заключенной в объеме х:
K=\\\pvdx. (2.1)
X
Для выделенной массы жидкости вектор К, как и объем т,— функции времени.
Закон количества движения можно сформулировать так:
производная по времени от количества движения некоторой системы масс равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему. Следовательно,
-^L = F^ + Fs. (2.2)
Подставляя в (2.2) выражения (1.2) и (1.4) для главных векторов массовых и поверхностных Fs сил и выражение (2.1) для К, получаем запись закона количества движения в виде
¦^SSSpvdT=SSSpFdT+SSTndS- (2-3)
XX S
Пусть площадка Д5 стягивается в точку.
Хп = lim тпр == lim -Д5~ (!-3)
AS-* О AS-» 0 ^
50
Проинтегрировав (2.3) от t\ до t2, получим запись закона количества движения для конечного промежутка времени
ШруЛ,'-‘.-ШруЛ !<-.,=
=s;: [ s s s т~ds] *"¦ <2-4)
Изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно сумме импульса массовых сил и импульса поверхностных сил.
Обратимся к равенству (2.3). Для дифференцирования объемного интеграла имеем формулу (15.7) гл. I. Положив в ней-А = pv, получим
= SSS(^+pvdivv)dT-
(2.5)
Принимая во внимание (2.5), перепишем (2.3) в виде
+ pv div v — pF j dx = ^ t„ dS.
(2.6)
Равенства (2.3), (2.4), (2.6) дают интегральную запись закона количества движения.
§ 3. ФОРМУЛА КОШИ
Запишем закон количества движения для частного случая объема т. За объем т выберем тетраэдр, три грани которого параллельны координатным плоскостям (рис. 6). Обозначим площади этих граней через Sx, Sy, Sz. Внешние нормали к этим граням направлены противоположно осям Ox, Оу, Oz. Площадь четвертой грани с нормалью п обозначим через Sn. Пусть т-*, х~у, т-z, хп — напряжения, действующие на каждую из граней.
Применив формулу (2.6) к объему т, будем иметь
55 5 \чт + pv div v — PF] d% =
X
*=SST-*ds+SST-*ds+SST-^s+SST«ds- <зл)
61
ванной площадки может быть вычислено, если известна таблица
из девяти величин:
тху txz
т = Хух ХУУ tyz (3.8)
