Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Приложение П.4
219
кость, а твердое тело), используя динамическую поляризацию ядер или поляризацию ядер за счет сверхтонкого взаимодействия в магнитоупорядоченных структурах для образования чистого начального состояния. Для решения проблемы селективного возбуждения должны быть использованы методы индивидуального контроля за отдельными кубитами, что потребует и разнесение кубитов на достаточные для этого расстояния (это возможно, как будет видно из последующей главы, в твердотельном варианте квантового компьютера).
Основной вывод относительно перспектив жидкостных ЯМР квантовых компьютеров состоит в следующем: эксперименты с использованием методов ядерного магнитного резонанса со спиновыми системами в молекулах органических жидкостей позволяют только продемонстрировать возможность осуществления простейших квантовых логических вентилей, каскадов вентилей, способных создавать простейшие квантовые схемы и квазичистые состояния. ЯМР квантовый компьютер на органических молекулах в жидкости из-за небольшого числа кубитов не может быть основой для построения полномасштабного квантового компьютера. Его можно рассматривать лишь как модельный прототип реального квантового компьютера, на котором могут отрабатываться отдельные квантовые операции и проверяться квантовые алгоритмы.
Приложение П.4
П.4.1. Развязка с зеемановскими взаимодействиями с помощью неселективного импульса
Используя соотношения (4.41), (4.42) (4.47), запишем
Хав (л) -иш(Ь/2) =ХАВ(тг) • [ZA(A(jt/4:) <g> ZB{-Aujt/4)\ZAB{uABt/2) = = [^а(—Д^/4) 0 ZB{Awt/4)]ZAB{wABt/2) • Хав(тг), (П.1)
откуда следует
Uu(t/2) • Хав (к) * Uu(t/2) = Zab(uabI) * Хав (к)- (П.2)
Полагая далее в (П.2)
Хав(тг) = ХА(тг) 0 Хв(тг) = -4(ТхА ® ТхВ) (П.З)
220
Глава 4
и учитывая, что согласно (4.18)
ZAB(uABt) = cos(ujABt/2)l - 4г sm(uABt/2)(IzA <g> IzB), получим
U»(t/2)-XAB(ir)-Uu(t/2) =
= -4 cos(u;ABt/2) • (/жл ® Ixb) + * sin^W2) • (IyA <8> /ув)
(П.4)
(П.5)
В результате вклад зеемановской составляющей в эволюцию двухспиновой системы благодаря действию рефокусирующего неселективного импульса оказывается исключенным.
П.4.2. Пример двухкубитового оператора, осуществляемого двумя неселективными импульсами
Рассмотрим оператор инверсии Uv амплитуды одного из состояний двухкубитовой системы (например, |0а1в))9 который участвует в алгоритме Гровера (4.58). С помощью (4.16), (4.18) для оператора свободной прецессии во вращающейся системе координат запишем
(П.6)
Uu(t) = \za{Au(t/2) ® Zb(-Awt/2)] • Zab(u>abt)) =
= | ^cos(Ao;r/4)lyi + 2г $>т.(Ашт / 4)Iza^ ®
®| ^cos( Awt/4) 1д — 2г sin(Awг/4)| х х (cos(wавт/2)1 - 4г sm(wABT/2)(IzA ® IZB^j-За время т = Зп/Аш это дает
иш(т) = ^ ^1 + 4:(IzA ® Izb) + 2i(\A ® IzB) — 2i(IZA ® 1в)) х х ^cos(37tu;,4.b/2Au>)1 — 4i sin(3Trwав/2Au)(Iza ® Izb)) =
= ехр(—гЗтти}Ав/2Аш)
(1 о о 0\ 0 0 0 0 0 0 0 0 \0 0 0 1/
i ехр(гЗттшАв/2Аи>)
/0 0 О 0\
0 10 0 0 0-10 \о о о о/
(П.7)
Приложение П.4
221
uv =
(П.8)
Интересующий нас двухкубитовый оператор Uv, который совершает инверсию состояния |0д1в), имеет вид
/1 0 0 0\
0-100 0 0 10
\0 0 0 1/
может быть практически реализован с помощью двух неселективных импульсов [4.18].
Используя (П.5), (4.47), запишем следующее выражение для двух-кубитового оператора:
u„(t) = •UU(t - т)/4) • ХАВ • Uw{{t - т)/4)) х *иш(т) • иш((* - т)/4) • ХАВ • - т)/4) =
= 16 cos(wAB(t - т)/4:)(1хА®Тхв) + - т)/4)(ТуА®Тув) х
XE/w(т)• [cos(wab(t - т)/4:)(ТХА ®Тхв)+г sin(wAB(i - т)/4)® IyB)j ,
(П.9)
из которого, полагая г = 37г/До;, получим:
t7v(?) = ехр(гс«;Ав^/2)|ехр(—IZ'kujab / Аио)
}¦
Л о О 0\ /0 0 о 0\
0000 010 0 0000 +г 00-10 \0 0 0 1/ \о о о о/
(П.10)
Для случая слабой связи между кубитами шав Aw, t т получим выражение
Uv(t) и exp(1шавЬ/2)
Uv(tt/(2wab)) « ехр(—*7г/4)
/1 0 0 0\
0 г 0 0
0 0 ---г 0
\0 0 0 V
Г ВИД
(г 0 0 0\
0 -1 0 0
/4) 0 0 1 0
V> 0 0 *i
(П.11)
(П.12)
222
Глава 4
отличающийся от (П.8), постоянными фазовыми множителями у матричных элементов.
Заметим, что если область свободной прецессии исключить, то есть положить т — О и иш(0) = 1, то двухкубитовый оператор принимает далекий от инверсии одного состояния вид:
U{n/{2u;AB)) = ZAB{n/2) = 2
= 9-V2
(\ --- г 0 0 0
0 1 + г 0 0
0 0 1 + г 0
V 0 0 0 1 - ч
(П.13)
П.4.3. Элементарные сведения о геометрической фазе Берри
Наглядное представление о фазе Берри можно получить рассматривая динамику спина I = 1/2 в постоянном и поляризованном по кругу в перпендикулярной постоянному полю радиочастотном поле b(t) с адиабатически меняющейся фазой. Переходя во вращающуюся с круговой частотой и> радиочастотного поля систему координат, для вектора Блоха 5, представляющего движение спина (см. гл. 1), получим уравнение
