Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы подавить нежелательное воздействие на спиновую систему
4.5. Подавление декогерентизации в ЯМР квантовых компьютерах 209
взаимодействия Hsb, добавим к Но соответствующий развязывающий гамильтониан возмущения: H(t) = Но + #i(?), действующий только на спиновую систему. Поступая аналогично тому как это делается в ЯМР высокого разрешения [4.12, 4.43] ограничимся ситуацией, когда унитарная операция U±(t), определяется гамильтонианом возмущения, представляющим собой циклическую последовательность импульсов с периодом цикла tc, то есть
Ux{t) = Texp[-(i/h) J НгЦЩ =Ui{t + tc), (4.61)
где T — оператор упорядочения по времени. Откуда следует U\(tc) = = Ui(ntc) = 1, п — целое число.
Эволюция всей системы под действием гамильтониана H(t) описывается унитарным оператором
t
U(t) —Т exp
-(i/h) j H(t)
dt =
(4.62)
Uo(t) = T exp
где
H0(t) = Ur'WHoUiit) = UrHWHs + HSB)Ui(i)
(4.64)
— гамильтониан исходной системы в так называемой следящей системе координат (toggling frame). Оператор эволюции (4.62) в моменты времени, отличающиеся на период цикла tc, принимает вид
U(tc) = Техр
-(i/h) J H(t)]dt = U\ (tc) ¦ Uo(tc) = Uo(tc). (4.65)
Далее воспользуемся разложение Магнуса (W. Magnus) [4.12, 4.43], согласно которому
tc
U0(tc) = T ехр[-(г/Й) J Я0(?)](Й = ехр[-(г'?с/Й)Я], (4.66)
210
Глава 4
где
Я = Я(0) + Я(1) + Я(2) + ... + Я(г) + ... , (4.67)
tc tc ^2
Я(0) = Ц dtHo(t), Я(1) = J dt2j dti[#0(t2), Я0(*!)],...
О 0 0
(4.68)
Из (4.63) следует
tf(»ic) = [t/b(ic)]n = ехр[—(J /П)Н]. (4.69)
С
Последнее выражение означает, что движение системы при наличии периодически зависящего от времени возмущения Hi(t) эквивалентно эволюции, наблюдаемой со стробоскопической выборкой в моменты времени ntc под действием постоянного среднего гамильтониана Н. Для такого наблюдения используются специальные стробоскопические устройства. Заметим, что понятие среднего гамильтониана Н Магнуса близко к понятию квазиэнергищ введенной для квантовых систем периодически зависящих от времени Я. Б. Зельдовичем [4.44].
Разложение Магнуса сходится при tc < тс, где тс — время корреляции., определяющее минимальный масштаб времен, характеризующих нежелательные взаимодействия. В пределе очень быстрого контроля tc => 0 вклады в Н слагаемых с г ^ 1 исчезают и стробоскопическая выборка для произвольного окружения определяется оператором U(ntc) => 1, то есть рассматриваемая модельная система при условии такой выборки ведет себя как свободная от диссипации и декогерентизации: ptot(t) => Рш(0).
При малых, но конечных временах цикла поправка пропорциональна (tc/тв) 1 и соответственно скорость декогерентизации будет пропорциональна (?с/т?>)2. Можно показать [4.43], что при выборе симметричных циклов, когда Ho(t) = Ho(tc — ?), все нечетные поправки в (4.67) исчезают и скорость декогерентизации будет пропорциональна уже (tc/тd)4• Если бы удалось создать антисимметричный цикл, когда H0(t) = — Ho(tc — ?), то средний гамильтониан Н был бы равен нулю и
U(tc) = I-
4.5. Подавление декогерентизации в ЯМР квантовых компьютерах 211
В системах с сильным естественным сужением резонансных линий, обусловленных интенсивным броуновским движением, какими являются невязкие жидкости, большое время спин-спиновой релаксации Т2, играющее роль времени декогерентизации т#, обусловлено взаимодействием спинов с быстро флуктуирующими локальными полями, создаваемыми электронными и ядерными спинами окружающих молекул. В этом случае характерное время корреляции этих полей тс <С (До;2)-1/2, где (До;2) — второй момент линии поглощения в отсутствии естественных механизмов сужения резонансной линии [4.14] очень мало и условие сходимости разложения Магнуса оказывается практически невыполнимым. Это означает невозможность дополнительного контролируемого усреднения такого рода взаимодействий с окружением, характеризующихся малым временем корреляции. Если же помимо естественных механизмов сильного сужения существуют другие более медленные воздействия, приводящие к случайным амплитудным и фазовым ошибкам, то очевидно контролируемое усреднение таких воздействий возможно, если их характерное время корреляции определяется сравнительно большим временем спин-спиновой релаксации Т2 ~ т#. Тогда время цикла должно удовлетворять условию tc Т?).
В твердых телах естественные механизмы сильного сужения, характерные для жидкостей, отсутствуют и время корреляции тс « « (До;2)-1/2, то есть определяется обратной шириной резонансной линии. Поэтому в твердых телах время тс имеет порядок времени декогерентизации td ~ (До;2)-1/2. Однако при наличии электронного парамагнетизма у молекул существенным естественным механизмом сужения резонансной линии и увеличения времени декогерентизации может стать взаимодействие ядерных и быстро флуктуирующих, скажем за счет достаточно сильного обменного взаимодействия, электронных спинов, которое и будет играть роль времени корреляции [4.14, 4.45].
