Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
S.6. Взаимодействие между кубитами через
посредство фононного кубита. Двухкубитовые операции
Гамильтониан взаимодействия m-го внутреннего кубита с лазерным полем Hi (3.53) описывает также и взаимодействие с фонон-ным кубитом. Действительно, в выражении (3.53) координата z = = zo + q(t) содержит смещение иона в результате его колебательного движения. Разлагая гамильтониан (3.53) по малому параметру q до линейных членов и опуская нерезонансные члены, содержащие
Vm( 0,У>)
(3.59)
пульсов
NOTm = Viau*H2n,n/2)Vm(n/2,n/2), Hm = ViauxH^^mVm(iTT/2,n/2).
(3.60)
3.6. Взаимодействие между кубитами
147
произведения S+a+ и S-a (так называемое приближение вращающейся волны [3.22]), для приращения Hi получим:
SHi = Ш'т (§+ае*{кго-ш^-шг+<р) - S-a+e~i{kz? (3.6i)
где обусловленная взаимодействием с фононами комплексная частота Раби iVrn имеет следующий вид
(G.Lamb, R. Dicke), равный, по существу, отношению амплитуды ну-
оптического излучения при Л = 500 нм, Q0 = 10 нм получим г] = 0,1, а для для СВЧ излучения с Л = 1 см = 107 нм — rj = 6 • 10_6. Величина параметра Лэмба-Дика характеризует интенсивность модуляции поля колебаниями ионов: эта модуляция тем слабее, чем однороднее лазерное поле (больше длина волны). Количественно это выражается тем, что связанная с фононами частота Раби меньше в т]/у/Ь раз, чем частота Раби для соответствующих электронных переходов.
Пусть в символе \i,j) значения г = 1,0 определяют состояние внутреннего кубита m , а значения j — состояния колебательного кубита. Тогда лазерный импульс длительностью t будет вызывать переход из состояния |^(0)) = а(0)|0,1) + Ь(0)|1,0) в состояние \^(t)} = а(?)|0,1) + + Ь(?)|1,0), описывающийся соответствующей матрицей преобразова-
(3.62)
где г]
называемый параметр Лэмба-Дика
левых колебаний СОМ моды
волны лазерного
излучения. Так как kz = cos 8, где 5-угол между к и направлением поляризации лазерного излучения (ось z)\ то г] = 27r^cos?. Для
л
148
Глава 3
Соответствующие лазерные импульсы назовем импульсами U-типа. Состояния |0,1)ш и |1,0)ш под воздействием импульсов ?/т(©',<^) переходят в суперпозиции:
Легко видеть, что операция обмена состояниями (SWAP) внутреннего кубита |г)т и вспомогательного колебательного кубита |z)v, а именно: |l)m|0)v |0)m|l)v, осуществляется с помощью только одного опе-
ратора Um (7Г, 37г/2) .
Далее обратимся снова к вспомогательному состоянию иона т |аих)т и лазерному импульсу, выполняющему переходы, соответствующие следующим преобразованиям [3.21]
Теперь выберем такую последовательность лазерных импульсов и соответствующих им переходов, чтобы выполнялась операция CNOT. Пусть кубит с номером с будет контролирующим, а кубит с номером t — контролируемым кубитом, контроль осуществляется благодаря взаимодействию основных кубитов через дополнительный вспомогательный кубит г;, состояниями которого являются два состояния СОМ моды. Если, например, начальное состояние трех кубитов фо = |t)v = 1100), то результатом двухкубитовой операции CNOTc* должно быть состояние 1110):
Этот результат получается после применения к ионам cut шести лазерных импульсов (операторы действуют последовательно справа налево):
|0,1)т ->¦ cos(0'/2)|O, 1)т - ieiv' sin(0'/2)|l, 0)т, |1,0)т -»¦ cos(0'/2)|l,0)то - ie~iv' sin(072)|O,l)m.
(3.66)
CNOTct|100) = |110).
(3.67)
CNOTct = Vt(aux>(2n,n/2)Vt(3n/2,n/2)Uc(TT,0)U}aux> x x(2n,0)Uc(n,0)Vt(ir/2,iT/2).
(aux)
(aux)
(3.68)
3.7. Считывание результатов вычислений в квантовом компьютере 149
Действительно, результат действия отдельных импульсов сводится к следующим преобразованиям:
Ft(7r/2,7r/2)|100) = |1>с^=(|0>* + |l)t)|0)„,
С/с(тг,0)|1)с|0>„ = —г|0)с|1)„, Utux)(2n,0)(-i\0)c)(\0)t\l)v + |l)t|l>„) = (—г|0)с)(—|0)t|l)„ + |1>*|1>„), ^(7Г,0)-^(-*|0)с)(-|0>,|1)„ + |l)t|l>„) = |l)c^=(|0)t|0)„ - |1>,|0>„),
Vt{aux)(2n,n/2)Vt(3ir/2,ir/2)-^(\0)t - |l)t) = |1>*. (3.69)
Окончательно получим:
binal = |l>e|l)t|0)w = CNOTct I l)c|0)t |0)v. (3.70)
Последовательности преобразований, подобных приведенным выше, не удается представить как переходы между уровнями энергии иона и фононов из-за участия в них суперпозиции состояний. Это в некоторой степени лишает наглядности процесс выполнения вентиля CNOT.
Таким образом, мы показали возможность выполнения однокуби-товых и двухкубитовых операций, из которых складываются вычисления в квантовом компьютере, построенном на ионном кристалле в ловушке (четвертое основное требование).
