Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
В линейной ловушке Пауля ионный кристалл гораздо сильнее сжат внешними силами в радиальных направлениях х и у, чем в направлении оси кристалла (направление z). Поэтому амплитуда колебаний qm\
3.4. Колебательное движение ионов в линейном ионном кристалле 141
Qm Qrn = Qm и можно приближенно считать qffl = q$) = 0. Остается, таким образом, рассмотреть колебания ионов только в направлении оси z кристалла. Общая схема вычисления соответствует известным из теории колебаний кристаллов этапам.
Потенциальная энергия кристалла для движения L ионов вдоль оси z с учетом их кулоновского отталкивания имеет вид [3.13]:
пфт
где u>z — круговая частота, характеризующая гармонический потенциал.
Равновесные положения ионов определяются системой L уравнений
(Юг0’ ™ = <3-42>
В безразмерных координатах Um = z^/do уравнения (3.42) имеют вид
т — 1 N
ит-У'---------1---п;+ V ---------!---гг = 0, m = (3.43)
Для функции Лагранжа, связанной с колебаниями ионов, имеем
L ц/г .2 L
z_
771—1 п, т=1
L=f Е(^)2-^ Е АпшЯпЯт, (3.44)
2 ^ учт/ 2 771—1
где использовано обозначение
In ” MuzAnm- (3.45)
U ZnOZm -I 0
Из (3.42) для Anm следует
L
1 + 2 V -----------, n = ffi.
?i\Um-Up\*'
An,m, — рфт (3.46)
“I---------пфт.
\Um-Un\3’
142
Глава 3
Амплитуды колебаний ионов могут быть выражены через амплитуды L нормальных мод колебаний Qp(t) с характерными для них частотами UOp = yJ]I^Uz
L
qm(t) = y?b%)Qp(t)i (3-47)
р=1
где собственные векторы и соответствующие им собственные значения цр определяются из равенства нулю определителя системы ла-гранжевых уравнений: ь
Y, [АптЬ(пр) - =0, P = 1,...,L. (3.48)
П= 1
Ряд частных решений (L = 2-^10) этой системы приведено в [3.13]. Наиболее низкочастотная мода колебаний с амплитудой Qi(t)(p = 1) соответствует синхронным колебаниям «жесткой» цепочки ионов в гармоническом «осевом» потенциале, имеющем вид
V = Е (3-49)
771—1
с частотой uiz(ni = 1), и собственным вектором = —^(1,... ,1),
yL
определяющим положение центра масс цепочки ионов. Таким образом, эта мода описывает колебания центра масс цепочки ионов; отсюда и название (center of mass mode = COM mode). Для второй моды фг(?) с частотой л/SuJz (/^2 = 3) отклонения qm пропорциональны расстояниям ионов zm от центра цепочки, а сама мода Q2(t) называется «дышащей» (breathing) модой. В качестве вспомогательного кубита (связывающего внутренние кубиты) в компьютере выбирается СОМ мода с двумя нижними энергетическими состояниями [3.13].
Можно также перейти к квантовому представлению колебаний в ионной цепочке, выражая смещения ионов через операторы уничтожения ар и рождения фононов соответствующих мод колебаний Qp [3.13]:
L I------ L
Qm(t) = ? b$Qp(t) = iJ^ (аре~^ - a+e^). (3.50)
p= 1 V P V
3.5. Внутренние кубиты на ионах в ловушке
143
3.5. Внутренние кубиты на ионах в ловушке
В качестве состояний |0) и |1) внутреннего кубита должны быть выбраны основное и метастабильное возбужденное электронные состояния иона, который находится в линейной ловушке в условиях лазерного охлаждения. Долгоживущая двухуровневая система требуется для того, чтобы обеспечить возможность выполнения необходимых квантовых операций в соответствии с четвертым основным требованием. В качестве таких систем рассматривались ионы Са+, Ва+, Sr+, Hg+ [3.21]. Между термами S и Р, Р и D этих ионов разрешены дипольные электрические переходы; времена соответствующих спонтанных переходов исчисляются наносекундами. Между основным S'-термом и возбужденным 12-термом разрешен только квадруполъный электрический переход; поэтому время жизни электрона на уровне D по отношению к переходу D —>• S составляет величину порядка 1 с. (1>терм метастабилен по отношению к переходу D —У S). В качестве состояния |1) кубита поэтому целесообразно избрать уровень энергии 2D^/2 [3.21].
Есть и другой вариант выбора состояний внутреннего кубита. Основное состояние иона 2*S'i/2 является вырожденным по спину и во внешнем постоянном магнитном поле Bq расщепляется на два состояния |±1/2), характеризуемые проекциями спина +1/2 и —1/2 на направление магнитного поля. Разность энергии этих состояний Е1/2 —
