Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь строение линейной конфигурации ионов вдоль оси z. В [3.11] была описана простая модель линейного ионного кристал-
q$p(x,y) = ^Мш2г{х2 +у2),
(3.10)
где
(jJr ~ ——----- --- — —
V2MR2?lT 2 л/2
(3.11)
3.2. Ловушки для ионов и нейтральных атомов
129
Рис. 3.2. Механическая аналогия электрической ловушки Пауля в высокочастотном переменном поле [3.6]. Шарик в поле сил тяжести на седловидной поверхности имеет неустойчивое положение и скатывается. Если же седловидное тело быстро вращается (период вращения гораздо меньше времени скатывания шарика), позиция шарика становится устойчивой.
ла в виде заряженной непрерывной струны. Кулоновская сила, действующая на ион в точке z струны со стороны ближайших соседей равна
F = 1Г— (»“2 - s+2) - ^ir—s~2?, (3.12)
47Г?о “ + 47Г?Г0 dz’ v '
где го — диэлектрическая проницаемость вакуума, s_,s+ — расстояния до ближайших соседей слева (s_) и справа (s+), и
2 — s(z)
{„-2 „-2\ _ (s+ + s-)(s+ - s~) ~ 2As ^ dz , ,
(s- s+ ) “ 4*1 “ s3(*) “ ,3(^) ‘
Вклады от следующих пар соседей убывают в 4, 9, 16 и т.д. раз, так
оо 2
что полная кулоновская сила увеличивается в ^ п~2 = раз:
п= 1 ь
F = (ЗЛ4)
130
Глава 3
Кулоновская сила отталкивания ионов уравновешивается сжимающей силой поля электродов Fz = Muj2zz:
Mu2zz=^-^-\^~, (3.15)
z 3 47ге0 s2 dz
что дает дифференциальное уравнение для неизвестной функции s(z) 44 = ^’ d°= . (3.16)
Положим длину цепочки равной 21 < 2Zq, а центр цепочки примем за начало координат оси z. Тогда
1 1
s(l) s(z) 2n2dl
(l2 - z2). (3.17)
На краю цепочки расстояние s(l) можно также оценить из равновесия сил
71-2 Я2 = Ми%1, (3.18)
4:7T?qS2(1)
откуда следует
^ = и^Г- <зл9>
Поскольку при I do—— <С 2 3, то в (3.17) слагаемым 1 /s(l)
S\l) 2тг dg
можно пренебречь, и мы получим
*(*) = *o(l-^)”\ (3-20)
где so = s(0) = --^ — минимальное расстояние между ионами; кото-
3/
рое достигается в центре цепочки (центр максимально сжат). По мере приближения к краю цепочки расстояния между ионами быстро возрастают, в соответствии с выражением (3.20).
3.2. Ловушки для ионов и нейтральных атомов
131
Найдем взаимозависимость длины цепочки 21 и числа ионов L. Если обозначить номер иона в точке z через n(z), то dn = —dz, и можно
Ф)
записать уравнение L^ ^
/*-/& <з-21)
о о
Интегрирование (3.21) дает результат
/ = db(7T2/2)1/V/3, (3.22)
и, следовательно, минимальное расстояние между ионами изменяется по закону
-°(?) = Кт)1/3^"2/3- (3-23)
Полученные формулы (3.20)-(3.22) лишь приближенно описывают конфигурацию зарядов в линейном ионном кристалле в ловушке Пауля. Более точные численные расчеты зависимости s(z) и минимального расстояния между ионами были выполнены в [3.12, 3.13]. Приводятся следующие зависимости so(L):
s0(L) = 2, ОШоЬ-0’559, s0(L) = 2,2 9*2Г0’596. (3.24)
Для типичных параметров ловушки расстояние so имеет значение порядка нескольких мкм, а амплитуды колебаний ионов — порядка 10 нм. Такие расстояния между ионами достаточны для индивидуального обращения к отдельным ионам с помощью лазерных импульсов. Однако перекрытие волновых функций электронов соседних ионов при этом оказывается пренебрежимо малым и поэтому обменное взаимодействие между соседними ионами отсутствует. Необходимая для выполнения операций CNOT связь между ионами, и при том не обязательно только между соседними, обеспечивается посредством возбуждения определенной коллективной колебательной моды линейного кристалла (см. ниже).
Однако эти расчеты не дают ответа на вопрос, важный с точки зрения конечной цели построения полномасштабного квантового компьютера: будет ли устойчив линейный ионный кристалл при числе ионов в кристалле L = 103 104, то есть возможно ли выполнение
132
Глава 3
первого требования? Экспериментально был получен кристалл из 33 ионов 199Hg+ [3.8]. Процесс разрушения линейного ионного кристалла с образованием зигзагообразной конфигурации наблюдался уже при 11 ионах 199Hg+. Задача получения кристалла с числом ионов 103 -т-104 усложняется еще тем, что с точки зрения возможности селективного управления квантовой эволюцией каждого иона — кубита в отдельности (четвертое требование), минимальное расстояние между ионами so ограничено снизу: оно должно быть больше значения, позволяющего фокусировать лазерный пучок на любом отдельно взятом ионе в кристалле.
