Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы записать результат действия последнего выражения на состояние двухкубитового регистра в матричной форме, представим, используя единичную двухрядную матрицу 1&, операторы Адамара Hj также в виде матриц 4x4 в базисе \xj+ixj):
(Hj+1 ®1j) = у/щ
/10 1 0 \
0 10 1
10-10 \0 1 0 -1/ /1 1 0 0 \ 1-10 0 10 11
(2.44)
\0 1 1 -1/
и перейдем к обычной для умножаемых операторов-матриц последова-
84
Глава 2
тельности действующих справа налево (|^=):
U4 — (Hi ® 1о) • Boi • (li ® Я0)к — (li ® Я0) • Boi • (Hi ® 1
/1 1 о о \ 1-10 0 0 0 11 \0 0 1-1/
/1 о о 0\ 0 10 0
0 0 10 \о 0 0 i)
/101 о \ 0 10 1 10-10 \0 1 0 -1/
ОЛ-*= -/11 1 1\
1 —1 г —г 11-1-1 \1 — 1 —i i /
(2.45)
В результате действия унитарной операции (2.45) четырехмерное состояние \х) двухкубитового регистра преобразуется в четырехмерную линейную суперпозицию |с) состояний следующим образом:
|00)
вд = = и = |
in)
/|00) + |01)+ |10)+ \11)\ |01) - |01) +*|10) -*|11>
Iю> + |01) - 110) - |11) \|11>-|01> + *|10> + *|11>/
(2.46)
Заметим, что это преобразование не приводит к запутыванию состояний. Действительно, правую часть выражения (2.46) можно представить в виде произведений:
|00> + |01>+ |10>+ |11)
101) — 101) + г 110) — г 111) |10) + |01) — 110) — |11> |11) — |01) + г|10) + г|11)
(|0>+ |1»®(|0> + |1» (|0) + г|1))®(|0)-|1))
(|0>- |1»0(|О> + |1»-
(|0)-г|1))®(|0)-|1))
(2.47)
То есть для N = 2Ь = 4 (четырем базисным состояниям 00, 01, 10, 11 сопоставим числа х. к = 0,1,2,3) получим:
U4 : \х) => ^ ^1|0) + ехр(7ггж/2)|1) + ехр(7ггж)|2) + ехр(37ггж/2)|3)^.
(2.48)
Из сравнения (2.41) и (2.48) видно, что для получения квантового фурье-преобразования следует дополнительно перейти от состояния |с) в (2.46) к состоянию |fc), отличающемуся от |с) обратным порядком расположения состояний кубитов в регистре: 00 => 00,01 => 10, 10 => => 01,11 => 11. Такое преобразование производится с помощью еще
2.2. Некоторые квантовые алгоритмы
85
одной унитарной операции обмена (SWAP) состояний двух кубитов:
/1 о о 0\
| k) = SWAP | с) = ° ° 1 °
О
V0
|с>.
(2.49)
Заметим, что эта процедура аналогична операции «инверсии порядка двоичных знаков» в классическом алгоритме быстрого дискретного фурье-преобразования Кули-Тьюки (J. Cooley, J.Tukey) [2.23]. В результате QFT4 = SWAP • С/4.
При L = 4 размерность гильбертова пространства N = 24 = = 16 и для выполнения (QFT)ie необходимо произвести последовательность уже не трех, a L(L + 1)/2 = 10 элементарных унитарных операций, с L операциями Адамара с каждым кубитом и L(L — 1)/2 двух-кубитовыми операциями контролируемого изменения фазы, а именно (для краткости здесь опущены единичные операторы) [2.22]:
Ui6 — Щ • (^23^2) • (^13^12^1) • (^03^02^01^0)
Схема QFT для этого случая представлена на рис. 2.4.
(2.50)
Но
В9 о — н<
Я13 ^12 Н\
Bos В 02 Вт HQ
Рис. 2.4. Квантовая схема квантового фурье-образования, выполняемого на регистре из четырех кубитов (последовательность операций слева направо).
Если предполагать, что на каждую элементарную операцию затрачивается одно и то же время, то есть все операции имеют одинаковое разрешение по времени, то временная цена полного преобразования пропорциональна числу операций и растет как квадратичная функция от числа L. Для сравнения укажем, что число элементарных операций, необходимых для выполнения быстрого классического фурье-преобразования Кули-Тьюки экспоненциально зависит от используемого числа кубитов [2.23], а именно, ~ 3NL = 3-2lL L(L+1)/2 и, сле-
довательно, временная цена классического фурье-преобразования растет экспоненциально с L. Ускорение квантового фурье-преобразования
86
Глава 2
по сравнению с классическим обязано свойству унитарного преобразования, действующего одновременно на целый массив параметров в гильбертовом пространстве состояний, что является проявлением квантового параллелизма.
Отдельные реальные квантовые логические операции требуют обычно для своего выполнения характерного времени. В ЯМР квантовых компьютерах — это длительность радиочастотных импульсов заданной интенсивности, осуществляющих необходимый поворот спинов (см. гл. 4). Так, для выполнения операции Bj^ в случае квантового фурье-преобразования необходимо осуществить поворот фазы на угол Oj-k = п/2к~^ что требует длительности т^-j, пропорциональной 2~(к~э\ где 2-1 ^ ^ 2~(ь~г\ Число таких двухкубитовых