Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
2.2. Некоторые квантовые алгоритмы
81
ние переданного кубита и кубита, оставшегося у отправителя. Тем самым запутанность состояния получателя увеличится вдвое по сравнению с максимальной. Однако это противоречит общему закону о невозможности увеличения запутанности с помощью локальных операций, выполняемых при телепортации [2.21]. Таким образом, после телепортации сигнала не только стирается начальный сигнал у отправителя, но должно также разрушаться и максимально запутанное состояние, играющее роль квантового канала. Это значит, что имеет место полное или частичное расходование запутывания как ресурса. Однако, если использовать принцип локальных квантовых преобразований с заимствованием вспомогательного запутывания (ELQCC), рассмотренный в разделе 2.2.3, полного разрушения квантового канала и расходования ресурса запутывания при выполнении таких операций можно избежать.
2.2.5. Квантовое фурье-преобразование
Рассмотрим квантовую систему — квантовый регистр в виде цепочки из L кубитов с номерами г = 0,1, 2,... , L — 1, имеющий N = 2Ь булевых состояний и который может хранить целые числа х от 0 до N — 1. Для L-значного в двоичном представлении числа запишем
где коэффициенты Х{, как и в случае классических битов, принимают только два значения 0 или 1. Состояния квантового регистра, соответствующие 2L-MepHbiM векторам являются прямыми произведениями двухмерных векторов состояний отдельных кубитов \х{). Используем далее для них обозначение:
\х) = \хь-!,Хь-2, ...Хо) = \xL-l) ® \хь-2) ® ® |я0), (2.39)
ный вектор состояния требует для записи 3 кубита.
Квантовое фурье-преобразование представляет собой унитарное преобразование (quantum Fourier transform — QFTjv) состояния кван-
L — l
(2.38)
i=О
например, состояние |5) = |1) ® |0) ® |1) = |Ю1) = 0 — восьмимер-
1
\° /
хо7
82
Глава 2
тового регистра, описываемого TV-мерным вектором состояния ви-
N-1
да ^2 f(x)\x) в N = 2ь-мерным пространстве, в другое состоя-
х=0
„ие tmm, QFTj>; ^
х=0 к=О
где амплитуда фурье-преобразования f(x) имеет вид
(2.40)
¦N-1
= \1 N^2 ехр(2тгг'Ь;/Л0/(ж).
х=0
(2.41)
1 1 1 1 \
1 U) J1
QFTjv = y/l/N 1 w2 w4 . w2^-1)
1 unLi
В двухмерной х, fc-плоскости фурье-преобразование соответствует повороту осей координат на 90°, приводящему к преобразованию шкалы х в шкалу к. Квантовое фурье-преобразование представляется унитарной матрицей N х N:
(2.42)
и = exp(27rz/TV).
Амплитуды базисных функций фурье-преобразования ехр(27гixk/N) одинаковы при всех значениях ж, а их фазы пробегают значения 0, 2mk/N, 2iri2k/N,... 2m(N - 1 )k/N.
Квантовое фурье-преобразование может быть построено с помощью двух основных операторов, осуществляющих унитарные операции в 2ь-мерном гильбертовом пространстве состояний. Это однокуби-товый оператор Адамара Hj (2.2), действующий на j-й кубит и двух-кубитовый оператор контролируемого изменения фазы Bjk, зависящий только от относительной фазы состояний |1) j-го и к-го кубитов, независимо от состояния других кубитов. Эти операторы описываются, соответственно, матрицами в базисах \xj) и \xjxj~) = |xj) ® \хи) [2.22]:
-
Bj,k —
(1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
lo 0 0 ei»k- 0
(2.43)
2.2. Некоторые квантовые алгоритмы
83
где относительная фаза Oj-k = п/2к~^ к — j — «расстояние» между двумя кубитами, 1 ^ к — j ^ L.
Произведем далее над состоянием \х) определенную последовательность операций, отмечая каждый шаг индексом j, который изменяется от j = L — 1 до j = 0. В качестве первого шага положим j = L — 1 и подействуем оператором Hl-\ на первый кубит xl-i, что эквивалентно действию оператора Hl-i ® 1l-2 ® ... ® 1г ® 1i ® 1о на состояние всего регистра \х).
Далее на втором шаге положим j = L — 2 и подействуем произведением операторов Bl-2,l-i(^l-i ® *#l-2)!=^ на состояния двух кубитов xl-i и хь-2 (здесь, как и в квантовых схемах [2.22], предполагается, что операторы действуют по направлению оси времени в порядке слева направо, что обозначим здесь |=^). Продолжая далее таким образом, на очередном j-м шаге получим операцию • ^j,j+2 х
х ... • Bj^l- 1 • Когда будет достигнуто значение j = 0, этот шаг
заканчивается операцией i/о- В результате, полное унитарное преобразование представляется как последовательность элементарных шагов для всех значений j.
Например, в случае простейшего регистра из L = 2 кубитов (j = = 0,1) унитарное фурье-преобразование QFT4 формируется из последовательности всего трех элементарных операций, описываемых матрицами в четырехмерном базисе \х) = \x1X0): |0i0o), |0i 1о)? |li0o)9 |lilo) следующего вида С/4 = (Hi® 10) • В01 • (li® Н0)|=^.