Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
I у)
I у® fix))
|0>®|1>= J0) - |1>)
(2.23)
(|0 ф f(x)) - |1 0 /(*)>) = (-1)^ (|0> - |1>)
(2.24)
2.2. Некоторые квантовые алгоритмы
73
после действия операции Uf получим состояние
Uf : \^in) ^ |^out) —
= (1/2)(-1)'<°> (|0) + (-1)/(°)®/«|1)) ® (|0) - |1>),
которое зависит от значения относительной фазы /(О)0/(1) двух участвующих в суперпозиции состояний. Действуя затем снова операциями Адамара, получим обращение суперпозиций на выходе и переход первого кубита в состояние (—1)^°)|/(0) 0 /(1)). При этом второй кубит возвращается в состояние |1). Если относительная фаза имеет значение /(0) 0 /(1) = 0, то конечное состояние первого кубита 10), а если /(0) 0 /(1) = 1, то конечное состояние первого кубита |1). В результате полная схема действия алгоритма Дойча -Джозса принимает следующий вид (рис. 2.1) (нормировочные множители д/1/2 также опущены):
Рис. 2.1. Квантовая схема алгоритма Дойча-Джозса. Последовательность операций слева направо.
Для решения задачи Дойча достаточно только одной вычислительной операции по определению относительной фазы /(0) 0 /(1), то есть определения результирующего состояния первого кубита. (Если |0), то /i?2 (х) — постоянные функции, если 11), то /з,4(х) — балансированные функции.) Существенно, что при этом не вычисляются значения самих функций f(x). Квантовый компьютер действует на суперпозицию состояний |0) и |1) и тем самым выделяет «глобальную» информацию о функции, которая зависит как от /(0), так и от /(1). В этом проявляется здесь квантовый параллелизм. На примере задачи Дойча было впервые продемонстрировано квантовое ускорение ее решения.
Алгоритм Дойча-Джозса был сформулирован и для общего случая L > 1, когда \х) и |у) являются векторами в 2ь-мерном гильбертовом пространстве \х) = \х0, tfi,... xL-i), IУ) = \Уо, Уи • • • Уь-i), соответственно, квантовый оракул действует на многомерный век-
тор состояния Uf : |ж0> • • • xL-i) ® |у) = |ж0, х1,... xL-i) ® \у 0
0/(жо5яi^.-XL-x)) [2.7, 2.8].
74
Глава 2
Задача снова состоит в определении, является ли двузначная функция постоянной или сбалансированной, имеющей одно значение для одной половины, и другое для второй половины всех х. Квантовый алгоритм позволяет решить эту задачу за L операций, тогда как классический за 2Ь.
Экспериментально этот алгоритм был реализован на простейших ЯМР квантовых компьютерах (см. гл. 4).
2.2.3. Квантовая телепортация
Эта операция состоит в использовании запутанного состояния двух кубитов для передачи неизвестного для отправителя А состояния кубита С другому кубиту получателя В (передается только состояние, а не сам квантовый объект!). Возможность такой операции впервые была подтверждена и экспериментально сначала с помощью использования оптических систем в работе [2.9], а затем и методом ЯМР (см. ниже).
Предположим [2.10], что отправитель А желает передать получателю В информацию о состоянии кубита С вида |Фс) = о>\0с) + Ь\1 с), не зная значений параметров а и Ъ, и поэтому не может ее передать по классическому каналу. Для этого сначала из состояний кубитов А и В, принадлежащих отправителю А и получателю В с помощью операций Адамара и CNOT (2.2) образуется запутанное вспомогательное (ancilla) состояние, например, вида \^ав) = \А/2 (|0а0в) + \^А^в))- Это состояние кубитов А и В известно как отправителю, так и получателю и играет роль квантового канала передачи информации.
Общее начальное состояние передаваемого С и двух запутанных кубитов А и В квантового канала далее представим в виде
|Фавс) = |Фс) ® \^ав) =(а|0с) + ® дА/2(|0а0в) + =
= \ (|ф5с) ® (°|0в> + 6|1в)) + 1фас) ® (а|0в) - ь|1в>) +
+ 1фас) ® (а|1.в) + Ъ\0В>) + |Ф^С> ® (а|1в) - &|0в))), (2.26)
где
1флс) = лДЖМс) ± lUlc)),
г-( \ (2'27)
1фас) = a/i72(|0j41c>> ± |1л0с)]
2.2. Некоторые квантовые алгоритмы
75
— составляющие так называемого ортонормированного базиса Белла (J. Bell), построенного на состояниях двух кубитов А и ?7, относящихся только к отправителю А. Каждому из этих составляющих соответствует определенное состояние кубита получателя В, по-своему зависящее от параметров а и Ъ. Получив некоторое, вообще говоря неизвестное ему состояние |Фс)? отправитель производит измерение запутанного состояния двух своих кубитов в базисе Белла (иначе говоря, осуществляет проектирование на состояния этого базиса).
Рассмотрим сначала случай, когда в результате с достаточно большой вероятностью отправитель получит проекцию |^\с) и со°бщит об этом получателю с помощью классического сигнала (например, по телефону). Поскольку исходное состояние двух кубитов А и С отправителя и одного кубита В получателя |Фс) ® |^ав) редуцируется в результате этого измерения в состояние (а\1в) + Ь\0в)^), то тем самым
