Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
VSWAP = (2 г)“1/2
(2*)1/2 0 0 0 ^
0 г 1 0
0 1 г 0
0 0 0 (2г)1/2/
(2.14)
Ниже в главе 4 будут рассмотрены способы осуществления однокуби-товых операций поворота и двухкубитовых операций SWAP и VSWAP на примере ядерных спинов-кубитов.
70
Глава 2
Используя систему из трех связанных спинов-кубитов, можно сформировать и такой универсальный элемент, как вентиль Тоффоли или CCNOT [2.3]:
А: | а)------•------- | а)
CCNOT = В: \ЬУ С: \с)-
NOT
IЬ)
| с’) = \а П b 0 с)
(2.15)
В этом операторе управляющими являются два кубита А и В и один управляемый С. Он описывается следующей матрицей 8x8 в базисных состояниях |0,0,0), |0,0,1), |0,1,0), 11,0,0), |0,1,1), 11,0,1), 11,1,0) и |1,1,1):
CCNOT=
/1 0 0 0 0 0 0 0\
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
\0 0 0 0 0 0 1 0/
(2.16)
Такая операция может быть выполнена с помощью пяти двухкубитовых операций [2.1].
2.2. Некоторые квантовые алгоритмы
Остановимся теперь на некоторых типичных квантовых алгоритмах, играющих принципиальную роль в квантовых вычислительных процессах, рассмотрим их свойства и возможности, а также произведем сравнение квантовых операций, использующих эти алгоритмы, с классическими операциями независимо от конкретного вида кубитов.
2.2.1. Формирование запутанного состояния
В качестве простейшего примера рассмотрим формирование EPR-пары из незапутанного состояния пары кубитов-спинов |01):
|^РЛ> = лД72(|01> + |10)) = х/172 {(?) + (§)}• (2Л7)
2.2. Некоторые квантовые алгоритмы
71
Для этого оказывается достаточно подействовать сначала преобразованием Адамара Н (2.2) на состояние первого кубита |0), а затем на полученное состояние операцией CNOT, при которой контролируемым является второй кубит 11):
CNOT • (Я <g>T)|01) => CNOT • л/ЩЫ) + |1)) ® |1) =>
,—( \ (2Л8) =* л/1Т2(|01> + |10>) = IФерн).
Квантовую схему этого преобразования можно представить следующим образом (нормировочные множители д/1/2 опущены):
1°> “0-----------Т------|о> +| 1)
т |01) +110>. (2.19)
1) ----------NOT — 11) +10)
Заметим здесь, что одно преобразование Адамара, действующее локально только на один кубит, не приводит еще к образованию запутанного состояния. Ниже будет рассмотрен конкретный механизм действия всей этой операции с использованием методов ЯМР.
2.2.2. Задача Дойча
В простейшем варианте задача состоит в следующем [2.5] (см. также обзор [2.6]). Предположим, что имеется совокупность четырех бинарных функций fi(x) = ±1 двоичной переменной х = 0,1, из которых две постоянны (fi(x) = 0 и /2(ж) = 1 для всех возможных значений х) и две «сбалансированы» (balanced) (имеют различные значения для х = 0 и для х = 1: /з(ж) = х и /4 (ж) = NOT х). Задача Дойча (D.Deutsch) состоит в том, чтобы определить, к какой группе относится функция fi.
При классическом решении такой задачи необходимо выполнить минимум две операции, то есть определить отдельно /(0) и /(1). В квантовом случае благодаря возможности использовать свойство суперпозиции квантовых состояний достаточно только одной операции (один бит информации). Алгоритм Дойча-Джозса (D.Deutsch, R.Jozsa) [2.7] решения этой задачи в рассматриваемом простейшем варианте выполняется на компьютере, состоящем из двух кубитов. Первый основной кубит, состояние которого \х) — это вход квантового компьютера, а второй в состоянии |у) является вспомогательным «рабочим»
72
Глава 2
кубитом, то есть принадлежит как бы к аппаратным средствам. Пусть квантовый компьютер работает как квантовый черный ящик (специалисты по компьютерам называют его или соответствующую операцию квантовым оракулом (oracle)), выполняя над состояниями двухкубито-вой системы унитарную операцию Uf : |ж) (8) Iу) => \х) ® \у 0 /(ж)), описываемую оператором Uf. Этот оператор представляется четырьмя матрицами 4x4, соответствующими четырем возможным функци-ям f(x):
Суть алгоритма Дойча-Джозса состоит в следующем: сначала на входе квантовой схемы с помощью операций Адамара (2.2) приготовляется начальная суперпозиция состояний основного и вспомогательного кубитов, которая, в частности, при \х) 0 |у) = |0) 0 |1) принимает вид:
В результате действия операторов Адамара возникает незапутанная суперпозиция двухкубитовых состояний, отдельные составляющие в которой имеют одинаковые амплитуды, но их фазы могут отличаться на 7г.
Затем производится преобразование Uf. Учитывая, что
(2.20)
(2.21)
Квантовая схема, соответствующая оператору Uf, имеет вид:
|х>
U.
(2.22)
