Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
К однокубитовым квантовым операторам, действующим только на один кубит, относятся различные операторы поворота вектора состояния кубита в двухмерном гильбертовом пространстве. Это, в частности, такие вентили, как NOT, описываемый матрицей 2x2 или оператором Паули 3^:
(2.1)
2.1. Основные квантовые логические операции
67
оператор Адамара (М. Hadamard), осуществляющий самообратимую (self inverse)1 операцию формирования суперпозиции состояний
Я|0) = я (J) = уД/2 Q = v/IT2(|0> + |1>),
Я|1) = Я ф = у/Т/2 (Д) = x/l72(|0> - |1>), (2.2)
которую можно записать также в виде
н\х) = у/Щ (~1Гу\у)- (2.3)
2/—0,1
Оператор Адамара Н описывается матрицей
Я = 072 ( j = 072 (?, + ?*). (2.4)
Аналогичное преобразование в системе L кубитов осуществляется с помощью N = 2ь-мерного оператора Уолша-Адамара (Walsh-Hadamard), представляющего собой прямое произведение однокубитовых операторов Адамара:
W = #! 0 #2 0 ... Нп ® ... Нь, (2.5)
Используя выражение (2.3), для него получим
N-1
W\x) = ^YjNY;(-l)X'V\y)' (2-6)
у-0
где х, у представляют собой цепочки из N = 2Ь состояний L кубитов, а х • у обозначает их побитовое скалярное произведение по МОДу-
iV- 1
лю 2, определяемое как х-у= ^ (жпП?/п). Существуют и другие пред-
п=0
ставления оператора W.
хТо есть операция, совпадающая с обратной А = А-1. Операции CNOT и NOT также обладают этим свойством.
68
Глава 2
Двухкубитовые вентили соответствуют операциям поворота в гильбертовом пространстве двух взаимодействующих кубитов, которые не могут быть представлены в виде прямого произведения независимых однокубитовых операций. Основным двухкубитовым вентилем является обратимый контролируемый инвертор или оператор контролируемое НЕ (CNOT), который в совокупности с относительно простыми одноку-битовыми операциями может быть базовым для формирования любой унитарной операции в системе из более двух кубитов [2.1].
Этот вентиль описывается квантовой схемой и матрицей 4x4 следующего вида (см. также раздел 1.1):
А: |а)
CNOT =
| а)
В: |b)---- NOT — \b')=\a 0 Ъ)
/1 0 0 °\
0 1 0 0
0 0 0 1
0 1 V
(2.7)
Последовательность операций в квантовых схемах принято рассматривать слева направо в соответствии с направлением времени по горизонтальным линиям на схеме. Вентиль с симметричной относительно входа и выхода схемой описывается симметричной матрицей. Первый кубит А в операции CNOT является контролирующим, а второй В контролируемым, над ним и осуществляется операция NOT, при условии, если первый кубит находится в состоянии |1).
Заметим, что с помощью CNOT можно осуществлять операцию копирования или неразрушающее измерение состояния контролирующего кубита, поскольку, полагая |Ь) = 0, получим |Ъ') = |а).
В свою очередь оператор CNOT формально может быть построен из трех более простых вентилей [2.1-2.3]:
А: 1«> ----Т----- -----------Т-----------
CNOT = JL = _________________ , (2.8)
в: IЪ) —[not]---- ---ПГЬ-ГпУ-ПГ!—
где (см. ниже (2.43))
Вз,з —________|~
ПК
(1 0 0 0 \
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 -у
(2.9)
— двухкубитовый оператор контролируемого изменения фазы, который производит в рассматриваемом случае сдвиг фазы только состояния 11,1) на 7г: (|1,1) => — 11,1)), оставляя остальные состояния без
2.1. Основные квантовые логические операции
69
изменений. Для его выполнения существенно наличие физического взаимодействия между кубитами.
Двухкубитовый оператор обмена состояниями кубитов SWAP можно сопоставить квантовой схеме, в которой последовательно выполняются три операции CNOT:
SWAP =
А: | а)
HNOTh
В: |b) ---[NOT}
12а ® Ь) = | Ь)
jNOT|— | За © 2Ь) = | а)’
(2.10)
описываемые матрицей
SWAP =
/1 0 0 0\ 0 0 10
0 10 0 \0 0 0 1/
(2.11)
Заметим, что случае когда состояние |а) = 10), третий оператор CNOT оказывается лишним.
Операцию CNOT можно осуществить также с помощью последовательности операций следующего вида [2.4]:
CNOT = (яА(я-/2)®?в(-я-/2)) • %/SWAP • (zA(ir/2) ® Тв) • л/SWAP,
(2.12)
где
(2.13)
— однокубитовые операции поворота оператора спина ?, представляющего состояние кубита, на угол ±п/2 вокруг оси z в спиновом пространстве, а двухкубитовые операции VSWAP описываются матрицами
