Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
318
Глава 6
6.5. Квантовые компьютеры на квантовых точках с несколькими электронными и одним ядерным спином
Вариант квантового компьютера на квантовых точках, содержащих несколько электронов, с которыми взаимодействует один ядерный спин, был предложен в [6.25, 6.26]. Была рассмотрена обычная квазидву-мерная квантовая точка (то есть в форме тонкой лепешки), но имеющая в отличие от рассматриваемых выше квантовых точек два электрона. Она может быть сформирована в бесспиновом кремнии 28Si. В ее центре помещается примесный атом изотопа 13С (или 29Si) с ядерным спином 1/2. Поскольку атомы кремния и углерода имеют одинаковое число электронов, примесные атомы такого типа не создают никакого дополнительного электрического поля и поэтому электронная структура квантовой точки не искажается из-за присутствия примесного атома. Пусть внешнее магнитное поле приложено перпендикулярно поверхности квантовой точки. Продольный удерживающий потенциал электрона с эффективной массой т* в такой квазидвумерной квантовой точке в хорошем приближении описывается параболической зависимостью вида m*u;2r2/2. Энергия отталкивания между электронами для простоты вычислений в [6.26] моделируется выражением аг~2. Предполагается, что туннелирование электронов между квантовыми точками отсутствует. В приближении эффективной массы гамильтониан системы определяется выражением:
2
Я = Я2е + C^IS^rv) - 7nBh + 7еЕ u=i*BSv^ (6.31)
V = 1
где С — постоянная сверхтонкого электрон-ядерного взаимодействия с= ^7е7пЙ2|Ф(2 = 0)|2 (6.32)
со значением одноэлектронной волновой функции в плоскости квантовой точки 4?(z = 0), iv — вектор в ^-плоскости, = 2//в/^5 7п = = gN/W^ — электронные и ядерные гиромагнитные отношения, I и Sj, — спиновые операторы ядра и z^-ro электрона. Первое слагаемое в (6.30) расщепляется на две коммутирующие между собой части, описывающие движение центра масс двух электронов и их относительное движение.
6.5. Квантовые компьютеры на квантовых точках
319
Двухэлектронная система рассматривается в своем орбитальном состоянии, соответствующем нижним уровням Ландау для движения центра масс N = 0 и относительного движения п = О электронов и квантовым числам момента импульса движения центра масс М — 0. Это состояние характеризуется квантовым числом момента импульса для относительного движения электронов т. определяющим орбитальную симметрию электронного состояния. При наличии магнитного поля все нижние уровни имеют п = 0, т < 0. Величина т увеличивается скачкообразно с увеличением магнитного поля В. Конкретное его значение зависит от электронного спинового состояния, поскольку полная волновая функция двух электронов всегда антисимметрична. Полное спиновое собственное состояние имеет вид |/z; S', 52)ш, где S и Sz представляют квантовые числа полного спина и ^-составляющую полного спина электронов. Значения S = 0,1 определяют, соответственно, синглетное (антисимметричное) и триплетное (симметричное) состояния. При S = 1 квантовые числа т имеют только нечетные, а для S = 0 — только четные значения. Эффективный спиновый гамильтониан принимает вид [6.26]:
#s = А(т) [(/+?_ + I-S+) + 2ТЛ] ~ lnhBIz + leHBSz, (6.33)
где А(ш) = С • Д(ш)/2 — зависящая от поля и квантового числа ш эффективная постоянная сверхтонкого взаимодействия,
д(“) = <«•“> I = л/h/mFu;о — эффективная магнитная длина, и = дД^с + —
эффективная частота, и>с = qB/m* — циклотронная частота, //т = = д/т2 + а/ЩНи;о, /о = л/Щт*йо". Скачкообразные свойства параметра ш приводят к скачкам и постоянной сверхтонкого взаимодействия А(ш).
Электроны в синглетном состоянии S = 0 (ш — четное) не взаимодействуют с ядрами. В этом случае ядерная резонансная частота определяется частотой ЯМР сигнала для нелегированной квантовой точки ^ямр,о = 7пВ. Для триплетного электронного состояния ЯМР-сигнал соответствует переходам, при которых состояния электронного спина не изменяются под действием возбуждающих радиочастотных импульсов, но которые вызывают переворачивание ядерного спина. Это
320
Глава 6
имеет место для перехода между состояниями | — 1/2; 1,-1) и |Ф) = = ci 11/2; 1, — 1) + сг| — 1/2; 1,0). Диагонализация гамильтониана (6.32) позволяет определить коэффициенты с\ и С2 и найти значение частоты ЯМР, определяемой выражением [6.25]:
. _ ЗА(т) t (7П - 7е)НВ |
ГЬШ ЯМР — Г) “Г Г) “Г
1 1 (6.35)
+ i [[А(ш) + (7п + 7е)НВ]2 + 8А2(ш)] ^ .
Частота ядерного резонанса выражается через зависящую от поля и квантового числа т эффективную постоянную сверхтонкого взаимодействия. Так как > 7, то Ниямр = 7пНВ + 2А(т).
Величина эффективного сверхтонкого взаимодействия уменьшается с увеличением поля В благодаря увеличению протяженности волновой функции для относительного движения электронов с увеличением значения ш, то есть когда электронная плотность в центре квантовой точки уменьшается. Таким образом, в рассматриваемом случае магнитное поле В является хорошим контролирующим параметром для эффективного электрон-ядерного взаимодействия. В частности А(ш) испытывает резкое изменение при «магическом числе» о;с/о;о ~ 2,1, где электронное основное состояние переходит из триплетного состояния с \т\ = 1 в другое триплетное с \т\ = 3.
