Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
27
каждый шар представляет собой неразрушаемый бит. Модель позволяет получать наглядную картину обратимых операций в так называемом механическом баллистическом компьютере. Многоэтапные вычисления реализуются в нем как иерархия субвычислительных обратимых операций, которые осуществляются в процессе упругих столкновений движущегося шара-бита с совокупностью «управляющих» шаров и неподвижных отражателей, изменяющих определенным образом направление его движения. Запущенный в устройство с определенной скоростью шар-бит в результате выходит из него в состоянии с той же энергией, но с новым направлением скорости, а само устройство обратимым образом возвращается в исходное состояние. Энергетическая и энтропийная цена бита информации в этом случае определяется только количеством стираемой на выходе и генерируемой на входе компьютера информации, поскольку промежуточного стирания не происходит. Такого рода схема была названа консервативной логикой. Однако на самом деле из-за неидеальности шаров и отражателей их движение будет быстро хаотизироваться и вычислительный процесс разрушаться. Для сохранения необходимого порядка в движении шаров предлагалось ввести дополнительный периодически движущийся потенциал.
а)
CCNOT=
N( ЗТ
а -а b=b
с =с®аГ\ b
а b с а b с
ООО ООО
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 о 1 1 1
1 1 1 1 1 о
CCNOT=
Ь)
SWAP
Ъ
— с
а Ъ с а Ъ с
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Рис. 1.1. Схемы и таблицы истинности трехвходовых обратимых вентилей Тоффоли (CCNOT) а) и Фредкина (CSWAP) Ь). Знак 0 обозначает сумму по модулю 2, а знак П — операцию конъюнкции «И».
Следует заметить, что не каждый обратимый вентиль является универсальным в том смысле, что одних таких вентилей недостаточ-
28
Глава 1
но для организации произвольных логических операций в компьютере. Необходимой для этого логической полнотой обладают обратимый вентиль Тоффоли или дважды контролируемое «НЕ» (Controlled-Controlled-NOT =CCNOT) и обратимый вентиль Фредкина или контролируемый обмен (Controlled SWAP = CSWAP) [1.17], содержащие три входа и три выхода (рис. 1.1).
Например, дважды контролируемое «НЕ» (CCNOT) имеет две контролирующие линии с сигналами а и &, которые дублируются на выходе и осуществляют операцию «НЕ» на третьей контролируемой (target) линии только тогда, когда есть сигнал на входе обоих контролирующих линий (а = Ъ = 1). В противном случае сигнал на выходе третьей линии не изменяется с' = с. Если на третий вход подан нуль (единица), то при а = Ъ = 1 он превращается в единицу (нуль), то есть для него выполняется операция «НЕ».
Для описания работы универсальных обратимых логических операторов CCNOT и CSWAP можно ввести унитарную матрицу преобразования 23 х 23. Для входных а,&,си выходных сигналов а',6',с' она имеет отличные от нуля матричные элементы для состояний, указанных в приведенных таблицах истинности.
Двухвходовой обратимый вентиль контролируемое «НЕ» (Control-led-NOT =CNOT), известный также как исключающее ИЛИ (XOR) с одной контролирующей (control) шиной а —а' и одной контролируемой (target) шиной Ь — Ъ' (см. рис. 1.2).
CNOT =
Ь----NOT — Ь = а
а b а b
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 1
1 1 1 0
Рис. 1.2. Схема и таблица истинности двухвходового обратимого вентиля контролируемое «НЕ» (CNOT).
В отличие от вентилей Фредкина и Тоффоли сам по себе этот вентиль не является универсальным. Однако он оказывается удобным для организации любых квантовых операций при использовании совместно с некоторыми одновходными вентилями и поэтому широко применяется в квантовых компьютерах (см. ниже).
1.2. Основные понятия квантовой теории информации
29
1.2. Основные понятия квантовой теории информации
1.2.1. Оператор (матрица) плотности. Чистое и смешанное состояние
Процессы передачи, обработки и считывания информации в квантовых системах основываются на представлениях и понятиях, значительно отличающихся от представлений и понятий классической теории информации. При переходе в квантовую область для этих процессов открываются качественно новые возможности широкие перспективы. В частности более эффективными становятся некоторые квантовые алгоритмы и вычислительные операции. Соответственно, бурно развивается в настоящее время и квантовая теория информации.
Одним из основных понятий квантовой, так же как и классической, теории информации является понятие энтропии, представляющей собой меру недостатка (или степени неопределенности) информации о действительном состоянии физической системы.
Для описания изолированной от окружения (замкнутой) квантовой системы используется понятие чистого (или когерентного) состояния, которое характеризуется волновой функцией Ф(ж,?) (х — полный набор всех непрерывных и дискретных переменных, определяющих состояние квантовой системы, например, это могут быть координаты и спиновые переменные всех частиц), или вектором состояния по Дираку |Ф(?)) (кет), представляемый матрицей-столбцом в гильбертовом пространстве, с размерностью, равной числу состояний квантовой системы. Для чистого состояния можно ввести также матрицу плотности:
