Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Успенский Л. -> "Пять минут на размышление" -> 37

Пять минут на размышление - Успенский Л.

Успенский Л., Студенцев А., Перельман Я. Пять минут на размышление — Москва, 1950. — 330 c.
Скачать (прямая ссылка): 5minnarazmishlenie1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 59 >> Следующая

Я пишу множимое, а вы подписываете под ним какой хотите множитель из двух
или трех цифр, и я тотчас же напишу вам произведение этих чисел, начиная
от левой руки к правой,
т____
ЧИСЛОВЫЕ КУРЬЕЗЫ
В задачах о некоторых особенных случаях умножения мы уже показали, что
легко получить и запомнить результаты некоторых перемножений. Очень легко
также запомнить квадраты таких чисел, как 11, 111, 1111 и т д. А именно:
ц2 ^ 121; 111 ~ = 12 321; 1 1112 = 1 234 321 и т. д.
Нетрудно убедиться, что эти полученные от возвышения в квадрат числа:
121, 12 321, 1 234 321,
123 454 321 и т. д. в свою очередь отличаются любопытными свойствами.
Так, рассматривая сумму их цифр,
190 ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
замечаем прежде всего, что
1 + 2 + 1 = 4 = 22
1 +2+3+2+1 - 9 =::: З2 1+2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 42 1 + 2 + 3 + 44-5
+ 4 + 3 + 2 + 1== 25 = 52
и т. д.
Кроме того, каждое из этих чисел можно представить в виде нижеследующих
интересных по форме неправильных дробей:
Число 37 обладает многими любопытными свойствами. Так, умноженное на 3 и
на числа, кратные3 (до 27 включительно), оно дает произведения,
изображаемые одной какой-либо цифрой:
37x3 = 111; 37 х 6 = 222; 37х 9 = 333;
37 X 21 = 777; 37 х 24 - 888; 37 х 27 = 999.
Произведение от умножения 37 на сумму его цифр равняется сумме кубов тех
же цифр, т. е.;
Если в числе 37 взять сумму квадратов его цифр и вычесть из этой суммы
произведение тех же цифр, то
22 ,0 00. 333 x 333
ГГ; 12321 = Т+2+з+2+Г;
1 234 321 =
4444 X 4444
4 "I- 2 + 3 "I- 4 + 3 2 + 4 *
123 454 321 =
55 555 X 55 555
1 + 2 + 3 + 4+ 5+4+3+2 + 1
и Т. д.
8
О ЧИСЛАХ 87 И 41
37 х 42 = 444; 37 х 15 = 555; 37 х 18 = 666;
37 х (3+7) = З3 + Is = 370.
_ ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА _
191
опять получим 37:
(З2 + 72)-3-7 = 37.
Но едва ли не самым интересным свойством числа 37 является то, что
некоторые кратные ему числа при круговой перестановке входящих в них цифр
дают опять-таки числа, кратные 37. Например:
259 = 7 х 37 592 - 16 х 37 925 - 25 х 37
То же самое верно относительно чисел 185, 518, 851 и чисел 296, 629, 962.
Все эти числа состоят из тех же цифр, только переставляемых в круговом
порядке, и все они кратны 37.
Подобным же свойством отличаются и некоторые числа, кратные 41. Так,
числа:
17589; 75891; 58917; 89 175 и 91758, как
легко проверить, все кратны 41, и каждое получается из предыдущего путем
только одной круговой перестановки входящих в число цифр.
192 ОТВЕТЫ НА "ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА".
(УТ КЕТЫ НА "ЗА Н НМ А ТЕЖЬ НЫЕ ЧИ<ЗМА"
4_____
1. Например, если взято сначала число 845, то 845 - 548 = = 297; 297 : 9
= 33, т. е. разнице между первой и последней цифрой взятого числа,
умноженной на 11.
Чтобы доказать это правило для всякого трехзначного числа, в котором
первая и последняя цифры различны, обозначил! через я, б и с
соответственно цифры сотен, десятков и единиц числа. Тогда взятое число
есть
100ц -j- 10б 4- с,
а написанное наоборот:
100с 4- 105 4- а.
Вычитая одно из другого и деля на 9, имеем:
100а 4- 105 + с - (100с + Ю5 4- а) 99(я - с) ,
---------------------9------------------ ----9- 11(й ~ О-
Итак, какое бы трехзначное число ни написал кто-либо, вы, взяв разность
между крайними цифрами и помножив ее на 11, тотчас говорите частное,
которое получится от деления на 9 разности между взятым числом и тем же
числом, написанным наоборот.
2. Если кто скажет вам любую одну цифру, то другая будет
дополнительная сказанной до 9. Так что, если кто-либо скажет
вам, после того как вычтет одно число из другого, что одна цифра разности
6, то вы тотчас ему говорите, что другая есть Зит. д. Доказательство
этого настолько легко, что читатель справится с ним сам без затруднений.
3. Из первого остатка надо вычесть второй остаток; если же он больше, то
к первому остатку надо прибавить девять и из полученной суммы вычесть
второй остаток, тогда всегда и получится зачеркнутая цифра. Читатель
легко может доказать это сам.
4. Пусть, например, кто-либо напишет с пропуском ряд цифр 728 57. Тогда,
отбрасывая от суммы цифр все девятки, какие возможно, получаем в остатке
2, но 9 - 2 = 7. Значит, на пустое место надо поставить цифру 7.
ОТВЕТЫ НА "ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА"______193
Ключ к уяснению всех особенностей этого числа дает то именно якобы
"исключение", которое нарушает круговой порядок, а именно, произведение 7
X 142 857 = 999 999.
1
Число 142 857 есть, как оказывается, период дроби -у f
если ее представить в виде десятичной дроби.
Совершенно теми же свойствами будет отличаться всякий другой "полный" или
"совершенный период", т. е. период, получаемый от обращения в десятичную
простой дроби вида ~
(где р есть первоначальное число), и притом такой период, что число его
цифр ровно на единицу меньше, чем показывает число знаменателя данной
простой дроби.
Таким образом, свойствами чйсла 142 857 будет обладать i =
=0,(0 588 235 294 117 647). В самом Деле: 2 хО 588 235 294 117 647= - 1
176 470 588 235 294, т. е. получаем число, написанное теми же цифрами, но
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 59 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed