Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
важным качественным отличиям.
8.4. Двумерные задачи
В двумерном случае положения ударной волны и лучи образуют ортогональную
координатную сетку, как показано на рис. 8.4,
Рис. 8.4. Линейные элементы динамики ударных волн.
и'"для некоторых целей удобно переписать уравнения в этих координатах.
Последовательные положения ударной волны уже представлены семейством
кривых а = const, и мы введем функцию Р (х), представляющую лучи как
семейство кривых р = const. Интересующие нас уравнения, в которых аир
используются как независимые координаты, можно получить непосредственным
преобразованием уравнений (8.50)-(8.52), но в целях выяснения
8.4. Двумерные задачи
273
дальнейших свойств геометрии поучительно провести независимый вывод. (Эти
рассуждения фактически являлись основой первоначального вывода данной
теории.)
В описании, основанном на сетке кривых а = const, р = const, геометрия
тесно связана с линейными элементами, соответствующими приращениям
координат da и dp, и геометрия трубок лучей вводится через масштабные
коэффициенты этих элементов.
Линейный элемент, соответствующий приращению dp, равен А (а, р) dp, где А
- некоторая функция. Эта функция А, очевидно, пропорциональна ширине
лучевого канала между лучами Р и р + dp. В двумерной задаче трубки лучей
имеют постоянную глубину в третьем измерении, поэтому А пропорциональна
площади трубки и может быть использована вместо зтой площади.
Приращение da соответствует изменению положения ударной волны за время dt
= da/a0. Следовательно, пройденное расстояние равно Udt - Mda. Отсюда
следует, что длина элемента дуги, соответствующая приращению da, равна
Mda. В общем случае длина элемента дуги выражается формулой
ds2 = M2da2 + ^2dp2. (8.57)
Функции М и А в таких ортогональных координатах не могут быть
произвольными функциями от (а, Р). Они удовлетворяют некоторому
дифференциальному уравнению, которое следует из известного нам факта, что
двумерное пространство, описываемое метрикой (8.57), в действительности
плоское. Поэтому кривизна, вычисленная при помощи М и А, должна
обращаться в нуль. Можно формулировать это иначе: функции М и А должны
быть такими, чтобы выражение (8.57) можно было преобразовать в следующее
выражение:
ds2 = dx2 + dy2.
Соответствующее условие, которое будет выведено ниже, имеет вид
Мтгж)+М-тж)-°- <8-58>
Если добавить соотношение между А и М, то получится полная система
уравнений для определения А (а, Р) и М (а, р). Зная их, можно найти лучи
и положения ударной волны как функции от х и у.
Для доказательства (8.58) рассмотрим криволинейный четырехугольник PQRS
(рис. 8.4) с вершинами (a, Р), (а + 5а, Р), (а, р + 6Р), (а + 6а, р -j-
6Р). Пусть 0 (а, Р) - угол между лучом и фиксированным направлением,
скажем осью х. Поскольку стороны PS и QR имеют длины ^46Р и (.4 + Аа 6а)
бр соответственно, а расстояние между ними равно Мба, изменение наклона
луча
Гл. 8. Динамика ударных волн
274
при переходе из точки Р в S составляет
60 =
QR-PS 1 дА
PQ М да Отсюда
1 &А /о сq\
д$ ~ М да (8.59)
Так как наклон кривой Р равен 0 + х/2я, аналогичные рассуждения
показывают, что
И = (8-60)
Уравнение (8.58) получается исключением 0, но удобнее работать с
системой уравнений (8.59) и (8.60). Система замыкается
добавлением соотношения между А и М: К"
а-а°-?шЗг <8-м>
Эквивалентность уравнений (8.59) - (8.60) и (8.50) - (8.51) легко
устанавливается с помощью соотношений
(8.62)
Как только 0, М и А найдены как функции от а и р, положения ударной волны
можно получить интегрированием вдоль лучей. На луче
дх 8У
COS0 sin0
~М~ ' ау - ~~М~ '
sin 6 COS0
А ' ~~А~
М да ' М да
Следовательно, выражения
а
х - Хо (Р) + j М cos 0 da,
0 (8.63)
г/ = г/о(Р)+ j Мsin0da о
определяют положение ударной волны в момент времени t = а/а0 по
известному положению х = х0 (Р), у = у0 (Р) при t - 0.
В общем случае коэффициент A0/f(M0) в (8.61) может зависеть от р,
поскольку и А0, и М0 могут изменяться вдоль кривой а = 0, определяющей
исходное положение ударной волны. Но мы можем ввести новую переменную р и
новую функцию А для того, чтобы исключить эту зависимость. Инвариантной
величиной
8.5. Распространение волн по ударной волне
275
является длина элемента дуги Ad$. Если А - к ф) А, то
A dp = к (Р) A dp = А >
где
И*
Таким образом, любой нежелательный множитель к ф) можно поглотить выбором
новой р. Будем считать, что это проделано, если не указано противное, и
положим А = А (Ж). В задаче дифракции (рис. 8.2) исходная ударная волна а
= 0 является плоской и 71/о = const. Выберем в качестве р расстояние от
стенки в этой однородной области. Тогда А0 - 1 и
А =
1(М)
/ (ЛГо) '
(8.64)
8.5. Распространение волн по ударной волне
Интересно, что уравнения (8.59) - (8.61) оказываются гиперболическими и
описывают волновое движение возмущений, распространяющихся вдоль фронта
ударной волны. По небольшом размышлении становится ясно, что этого
следовало ожидать. Течение в области за деформирующейся ударной волной
