Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(х), то скорость ударной волны окажется равной U = a0/|Vn|;
следовательно,
м=:г4г- (в-44)
Для изучения геометрии трубок лучей удобно ввести единичный вектор 1 для
направления луча в произвольной точке и функцию А, связанную с площадью
сечения трубки. Определение вектора 1 очевидно; он выражается через а
равенством
1=г1г (8-45>
поскольку лучи ортогональны поверхностям а = const. Для определения
функции А потребуются некоторые разъяснения.
Мы хотим ввести конечную функцию точки пространства, которую можно было
бы использовать в качестве меры площади сечения произвольной бесконечно
тонкой трубки лучей. Для этого рассмотрим какой-либо фиксированный луч и
построим вокруг него тонкую трубку, состоящую из пучка близлежащих лучей.
Гл. 8. Динамика ударных волн
270
Затем можно ввести отношение площади произвольного поперечного сечения
трубки лучей к площади некоторого фиксированного сечения. В пределе,
когда максимальный диаметр трубки лучей стремится к нулю, это отношение
приближается к конечному пределу и соответствующая предельная функция
принимается за функцию А на выбранном луче. Аналогичным образом эта
функция определяется на каждом луче и таким образом становится функцией
точки пространства.
Для любой бесконечно тонкой трубки лучей функция А теперь скорее
пропорциональна площади сечения трубки, чем равна самой площади. Однако в
соотношении (8.37) фигурирует только отношение площадей, так что эта
величина А, все еще связана с локальным числом Маха равенством Л f(M)
(8.46)
По этой же причине исходная точка отсчета для отношения площадей
поперечных сечений на трубках лучей выпадает и заменяется начальным
условием А - А0 при М - М0, входящим в (8.46). Действительно, в качестве
А можно взять любую конечную функцию, которая при движении вдоль
бесконечно тонкой трубки изменяется пропорционально площади сечения
трубки. Различные коэффициенты пропорциональности на различных лучах
будут компенсироваться различными значениями А0.
Связь А с функцией а (х), определяющей положение ударной волны, по
существу определяется тем, что возрастание А вдоль луча связано с
дивергенцией лучевого вектора 1, определяемого равенством (8.45).
Действительно, сейчас мы покажем, что выполняется соотношение
V-(-j) = 0, (8.47)
которое можно переписать также в виде
1 dA=±VAKaVi
A as А '
Для доказательства равенства (8.47) следует применить теорему о
дивергенции к объему V тонкой трубки лучей между двумя
последовательными положениями ударной волны, как показано
на рис. 8.3. Имеем
j V-(JL)rfr= { ±?,.dS, (8.49)
V Sl+X+S2
где 2 - боковая поверхность трубки, и - основания, а v - внешняя нормаль.
На боковой поверхности 1 -v = 0, согласно определению 1, так что
поверхность 2 не дает вклада в этот инте-
8.3. "Геометрическая динамика" ударной волны
271
грал. На величина l*v = 41, а на величина 1-v = -1. Тогда правая часть
равенства (8.49) сводится к разности
Если диаметр трубки стремится к нулю, то, в силу определения функции А,
оба интеграла стремятся к одному и тому же значению,
так что их разность стремится к нулю. Следовательно, интеграл в левой
части (8.49) равен нулю. Поскольку объем V был выбран произвольно, это
означает, что равенство (8.47) выполняется всюду.
Уравнения (8.44)-(8.47) дают уравнение в частных производных для а (х).
Собрав результаты, получим
где уравнение (8.51) получено из (8.47) при помощи равенства 1 = Va/| ya
| = М Va.
Эти выражения удобны для сравнения с результатами геометрической оптики и
линейной теории. Линейный предел отвечает М -1, и линейная теория
заменяет уравнения (8.50)-(8.52) соответственно следующими уравнениями:
Г dS Г dS_
) A J А
Ss St
Рис. 8.3. Геометрия трубки лучей.
(8.50)
(8.51)
л _ 1(Щ
Ао / (М0) '
(8.52)
|Va|=l.
v(4w) = °.
(8.53)
(8.54)
А' / Д/р-1Ц\2
!4>~ I м-1 )
(8.55)
Заметим, что в первых двух уравнениях, связанных с геометрией, М
тождественно заменяется единицей, но в уравнение (8.55) входит М - 1 как
мера интенсивности (которая мала) ударной
Гл. 8. Динамика ударных волн
272
волны. Таким образом геометрия не связана более с определением
интенсивности волны. Параметры течения, такие, как z = = (р - Ро)/Ро,
пропорциональны М - 1, и линейная теория использует скорее z, чем М - 1.
Из уравнений (8.54) и (8.55) имеем
V.(z2V") = 0. (8.56)
Уравнение (8.53) совпадает с уравнением эйконала (7.65) с учетом
нормировки а на скорость звука, а уравнение (8.56) - не что иное, как
уравнение переноса (7.66) с z оо ф0. В линейной теории сначала было
выведено уравнение (8.56), а затем найдена интерпретация z со А ~1/2,
соответствующая уравнению (8.55). Использованные здесь рассуждения
привели непосредственно к тому, что раньше было "интерпретацией".
Основной момент, однако, состоит в том, что развитая здесь теория в
соответствующем пределе сводится к линейной теории. Главное отличие
нелинейной теории состоит в том, что интенсивность волны z связана с М-
Даже для слабых ударных волн с М - 1 <С 1 эта связь может привести к
