Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(t) -"- th ?, так что соотношения (17.86)-(17.87) дают
Q=^ (-^-)1/2shP.
Отсюда
sn ~ th (Qt-Pn),
- a (1 - f>e_hi) ^ sech2(Q?- Pn).
Таким образом, мы получили уединенные волны.
Основываясь на различных приближенных выражениях и частных случаях, Тода
развивает убедительные доводы в пользу того, что эти уединенные волны
взаимодействуют так же, как и в непрерывных случаях, сохраняя после
взаимодействия первоначальную форму 1).
Уравнение Борна-Инфелъда
Уравнение Борна - Инфельда
(1 _ cpf)cpxx -f 2(pxcptcpxt - (1 + cpi)<Ftt = О
имеет решения типа уединенных волн, но они существенно отличаются от
рассмотренных выше решений. Легко проверить, что
ф = Ф (х - t) и ф = Ф (х + t)
являются точными решениями этого уравнения для любой функции Ф. В
частности, функцию Ф можно выбрать в виде одиночного горба и получить
решение, похожее на уединенную волну, но оно не будет обладать какой-либо
естественной структурой. Уравнение является гиперболическим в области
______________________ 1 + ф* - <Pt > О
Впоследствии на основе метода обратной задачи рассеяния была построена
точная теория. Это было сделано независимо в следующих работах: Манаков
С. В., О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических
системах, ЖЭТФ, 67 (1974), № 2, 543-555; Flashka Н-, Он the Toda lattice
II, Progr. Theor. Phys., 51 (1974), 703-716.- Прим. ред.
17.15. Взаимодействующие волны
.589
и, возможно, в какой-то мере относится к части I книги. Заметим, что
полученные здесь уединенные волны имеют постоянные характеристические
скорости ±1 и не происходит обычного опрокидывания, характерного для
нелинейных гиперболических волн.
17.15. Взаимодействующие волны
Решения Барбашова и Черникова [1] можно естественным образом получить при
помощи преобразования годографа, хотя простота преобразованных уравнений
неожиданна. Прежде всего введем новые переменные
! = ?-t, r)=a;-|-t, и - ф?, г: = фг)
и получил! эквивалентную систему
щ. - vt - О,
2 ,4 9 Л 2 п (17-89)
г/ug - (1 + luv) ип + и, = 0.
Меняем роли зависимых и независимых переменных, что дает
li;- 1]и = 0,
v2y]v + (l + 2uv)tv + uzEu = 0, (17.90)
или одно эквивалентное уравнение
U4uu + (1 + 2uv) tuv + V%vv + 2ulu + 2vtv = 0. (17.91)
Предполагая, что искомые решения находятся в гиперболической области,
теперь естественно перейти к нахождению характеристик линейной системы
(17.90), или, что то же самое, линейного уравнения (17.91). Они являются
интегральными кривыми дифференциального уравнения
u2dv2 - (1 + 2uv) dud и + v2du2 = 0 и, как оказывается, имеют вид г =
const, s = const, где
Г = Щ^!. * = (17.92)
Если вместо к, г ввести эти новые переменные г, s, то уравнения (17.90)
примут следующий вид:
г2?г + г]г = 0,
(17.93)
Is + S2T]s = 0.
Удивительно, что, исключая переменную ц для того, чтобы перейти к
уравнению, аналогичному (17.91), мы получаем просто
1г. = 0. (17.94)
Гл. 17. Точные решения
590
А ведь преобразование годографа гарантирует лишь линейность уравнения и
могло бы оказаться бесполезным для практических целей.
Общее решение можно записать в виде
x - t = ?=F(r)- [ s2G' (s) dst (17.95)
x-\-ts=v\ = G(s)-j r2E'(r) dr, (17.96)
где F (r), G(s) - произвольные функции. Поскольку
фг = utr -f Vi\r = ^rs tr + x\T = rF' (r)
и аналогично
<ps = sG' (s), соответствующее выражение для ср таково:
Ф= ^ rF' (г) dr-\- [ sG'(s)ds. (17.97)
Наконец, целесообразно произвести замену
F (г) = р, G(s) = а, г = ф; (р), s = Ф; (о) и записать решение следующим
образом:
Ф = Ф1 (р) + Фг (°)> (17.98)
0
x-t = р- j Ф'2(о)йст, (17.99)
х+ t = а+ j Ф12(р)Ф- (17.100)
р
Если функции Фх (р) и Ф2 (о) локализованы, т. е. отличны от нуля,
например, лишь в интервалах -1 <р<0, 0<ст-<1 соответственно, то
ф = фг (х - t) + Ф2 {х + t) при t < 0.
Волна Фг приходит из х = -оо, а волна Ф2 - из х = + оо. Когда t-*- + оо,
решение можно записать в виде
Ф = Ф1|а: -1+ j Ф^2 (ст) da}+ Ф2 {ж-fj - ^ Ф;2(р)ф|. (17.101)
17.15. Взаимодействующие волны
591
Каждая волна сместилась в направлении, противоположном направлению ее
распространения, на величину
В этом отношении по своему конечному результату взаимодействие подобно
остальным примерам взаимодействия уединенных волн. Но во всех остальных
отношениях представляется, что решения уравнения Борна - Инфельда (а
также само это уравнение), по-видимому, относятся к какому-то иному
классу.
Еще одно замечание о решении, заданном формулами (17.98)- (17.100).
Отображение из (х, ^-плоскости в (р, о)-плоскость в процессе
взаимодействия волн может приобрести особенность, хотя из (17.101) и
следует, что после взаимодействия решение снова становится однозначным.
Это можно интерпретировать как формирование ударной волны и связать с тем
фактом, что в процессе взаимодействия характеристические скорости
отклоняются от значений +1 и могут появиться огибающие характеристик. В
таких случаях потребуется модифицировать последующее поведение, и
выражение (17.101) в том виде, в котором оно записано, станет
