Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
причем физический интерес представляют вопросы распределения энергии
между различными модами колебаний, тепловое расширение при возбуждении и
т. п. Такие системы можно рассматривать как пространственно дискретные
аналоги непрерывных систем, изучаемых в этой книге.
Одномерная цепочка, описываемая уравнением (17.7), приводит к простейшей
модели распространения волн. Указанное уравнение записано применительно к
массам и пружинам, но допу-
х) См. также Захаров В. Е., Тахтаджан Л. А., Фаддеев Л. Д., Полное
описание решения "sin-Gordon" уравнения, ДАН, 219 (1974), вып. 6.- Прим.
ред.
17.14. Решение Тоды
585
скает и другие интерпретации; можно считать, например, что оно описывает
распространение волн в линии передачи с отводами, исследованное Хиротой и
Судзуки [1, 2]. Эти авторы провели также эксперименты, подтверждающие
предсказания теории о наличии уединенных волн и их взаимодействиях.
В линеаризованном пределе / (г) = - уг (17.7) имеет вид
тгп = у (rn+1 + гп_! - 2гп).
Общеизвестно решение, описывающее бегущую волну: rn = a cos0, в - a>t -
рп.
Эта функция является решением, так как подстановка дает
-cos 0 = cos (6-р) + cos (0 ч- р) - 2cos0 (17.77)
и правая часть оказывается пропорциональной cos 0, в силу формул для
суммы и разности тригонометрических функций. Имеем "дисперсионное
соотношение"
-"- = 2 (1 - cos р) = 4 sin2 . (17.78)
Параметр р аналогичен волновому числу в непрерывных задачах.
Для малых амплитуд а можно рассматривать разложения типа Стокса
rn = a cos0 + а2 cos 20 + . . .;
они дают нелинейные поправки к (17.78), и так же, как в
непре-
рывном случае, можно построить теорию модуляций (Лоуэлл [1]). Однако
получение существенно нелинейных решений, н в частности уединенных волн,
является гораздо более трудной задачей, чем в непрерывном случае. Можно
ожидать, что они существуют, но были бы желательны конкретные примеры.
Трудность состоит в том, что требуются функции специального вида и
формулы суммирования для них, которые позволили бы обращаться с правой
частью так же, как и в уравнении (17.77). Тода [1, 2] нашел такие решения
для
/ (г) = - а (1 - е-РД. (17.79)
17.14. Решение Тоды для экспоненциальной цепочки
Разностное уравнение (17.7) удобнее переписать в эквивалентной форме,
введя sn = / (rn). Вначале мы имеем систему
Гл. 17. Точные решения
586
В рассматриваемом случае, в силу (17.79),
"п = Г (гп)гп= - сфе-Р(tm)гп= - P(a + s") rn.
Следовательно, уравнения (17.80) можно объединить в одно уравнение:
-тг-%- = "тг+1 + "п-1 - 2sn. (17.81)
Для стационарной бегущей волны
sn = S (0), 0 = a>t - рп,
функция S (0) должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному
уравнению с разностным оператором
f а+ Is' = S(e + p) + S(B-p)-2S (0). (17.82)
Следуя Тоде, отметим теперь, что
d"464 P)-d"46-P)^-2PA(S1-S).
где sn, сп, tin - эллиптические функции Якоби, а А: - модуль этих
функций. Положив
С
?(?) = j dn2zdz,
О
после интегрирования по р получим
Е (0 + р) + Е (0- Р) - 2Е (0) = - 2^s"^nd2nees^2pp. (17.83) Далее,
Е' (0) = dn2 0=1 - F sn2 0,
Е" (0) = - 2кг sn 0 сп 0 dn 0.
Следовательно, правую часть равенства (17.83) можно записать как
Е" (6) _1____.
д + Е' (0) ' ^ sn2 р
Видим, что уравнение для Е (0) по существу совпадает с (17.82). Функция Е
(0) непериодическая по 0, но связанная с ней дзета-функция Якоби
Z(0) = ?(0)-0^р (17.84)
17.14. Решение Тоды
587
( та \ 1/2 , f 1 1-l?1
\~Т) 1 lsn22/vp ¦ К )
имеет период 2К, а переход от Е (0) к Z (0) изменяет уравнение
тривиальным образом. Решение для sn можно записать в виде
*" = S (0) = bZ (2KQ), 0 = соt - pn, (17.85)
где
'1/2, (17.86)
1 /сф\1/2/ 1 Е \ -1/2
2К \ т ) (sn22Кр +я) * ( )
Выражение для гп находится из равенства
-а (1 - е-Рт) = sn = 2Kab ( dn2 2A0--|) . (17.88)
Функции Z (С) и dn2 ? имеют период 2К; здесь фаза была нормирована таким
образом, что один период соответствует возрастанию 0 на единицу, а не на
2л, как в линейной теории. Амплитуда Z (?) является функцией от к, так
что амплитуда sn есть функция А (к, р). Учитывая также равенство (17.87),
получаем дисперсионное соотношение между со, р, А, записанное в
параметрической форме
А = А(к,р), со = а>(к,р).
В линейном пределе к -0 имеем
sn2?~sin2?, К,Е ~ dn2?~l - &2sin2?, -^-~1-
Z(?) ~ -^-sin 2?.
2
If" 2
Отсюда
sin2n0, Q = a>t- pn,
та \ 1/2 . 1 / cc(3 \ 1/2
-Sin -ТГГУ----------------------frt ~ -------------------- I - -
I
(та \
T)
sin лр, CO - l-2-) sinnp
7)- I Olll Jl U. UJ '---- - I-I
p / 1 n \ m I
И
- a (1 - e-$rn) yrn ~ n(°bk cog 2nQm
Эти выражения можно переписать в следующем виде:
sn ~ A sin 2л (соt - рп), -угп ~ 2лсоA cos 2л (соt-рп),
т (2ясо)2 /¦•> 79 / / Р W2 А уу л
- ------ •4sm2np, А2 - 4 (-- 1-------------< 1.
у V та J sm нр х
С точностью до несущественной нормировки эти результаты воспроизводят
линейное решение.
Гл. 17. Точные решения
588
Если /е->-1, то К ->¦ оо, и следует рассматривать случай конечных
пределов
2K("-+Q, 2Кр-+Р.
Эллиптические функции имеют следующие пределы: sn ? th ?, dn ? sech ?, Z
