Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ф = ± ехр ( ± -^===-) , (17.74)
так что данное преобразование снова согласуется с грубым рабочим
правилом: надо найти замену переменных, которая переводит уединенные
волны в экспоненты, удовлетворяющие уравнению с линейным оператором
(17.73).
Решения Перринга - Скирма можно найти с помощью разделения переменных, т.
е. в виде
Ф = / (х) g (г),
хотя уравнение для ф и нелинейно. Уравнение удовлетворяется при условии,
что
Гг = р/4 + (1 + Я)/2 - V, g'2= vg4 + Kg2 - ц,
где Я, (гит - постоянные. Эти уравнения имеют решения в эллиптических
функциях, для которых решения Перринга - Скирма являются частными
случаями.
/ Однако более содержателен подход к взаимодействию уединенных волн,
развитый Дж. Лзмбом [1, 2] и использующий преобразования Беклунда. Этот
подход не связан с уравнением (17.72).
Гл. 17. Точные решения
582
17.12. Преобразования Беклунда
Преобразования Беклунда первоначально были введены как обобщение
контактных преобразований и связаны, в частности, с изучением геометрии
поверхностей. Как было указано выше (§ 14.1), уравнение Sin-Гордона
получается при описании поверхностей с гауссовой кривизной, равной -1.
Преобразования Беклунда и их применения описаны в книге Форсайта [1, т.
VI, гл. 21]. При приложении этих преобразований к уравнению Sin-Гордона
последнее удобно записать в канонической форме
. с- X t X -j- t it r-j гтсч
^=an<p; s=-2-* ч-a- (17-75>
В общем случае преобразование Беклунда для уравнения второго порядка для
ф (Е, т]) имеет вид
ф| = Л(ф', ф, фЕ, фч, Е, г]),
Фв = <2(ф', Ф. Фе.Фч, i, *])•
Условие совместности этих двух выражений приводит к новому
дифференциальному уравнению для ф' (Е, rj). Идея, по-видимому, состоит в
описании класса эквивалентных уравнений. Например, сведение уравнения
Бюргерса
Фч-гФФе-л'Фи = ° к уравнению теплопроводности
-vqj'e = o
можно записать как преобразование Беклунда
Фе=-Фв= - (2т-Ф2)-^г-
Однако в общем случае надежда свести исходное уравнение к линейному, по-
видимому, не оправдывается. Но другой путь - найти уравнения, которые
можно отобразить в себя, так что любое известное решение для ф (даже
тривиальное) дает новое решение ф'. Задача определения преобразований,
переводящих уравнение (17.75) в себя, ставится Форсайтом со ссылкой на
Биан-ки и Дарбу. Легко показать, что соответствующее преобразование
Беклунда имеет вид
17.12. Преобразования Беклунда
583
где Я - произвольный параметр. Заметим, что они соответственно дают
^фНфгт+ЧФп + Фп)(tm)8 ф + ф -
дц тI -v'fTi | -с.,/- 2
, 0 . ф'-ф ф' + Ф
= Ф&П + 2 Sin 5-^ COS j-1-,
ж"
-4-Фч= - <Рче + т(Фе -Фе)(r)08-
= - ФвЕ + 2 sincos ф 2- .
Эти два выражения для qX, должны быть равны, и, следовательно, условием
совместности является равенство
= sin ф.
Складывая эти выражения, находим, что ф|п = sin ф\
Метод Дж. Лэмба состоит в последовательном генерировании новых решений
при помощи соотношений (17.76).
Прежде всего, поскольку ф0 = 0 является решением, другое решение ф! можно
найти из соотношений
-^=-2Яшп-^-, 2^
drj 2 dt, К 2
Легко проверить, что зто соответствует уединенной волне = Сир (к,+ у) "
СеЧ> (у=|г) .
Далее, если в (17.76) функцию ф положить равной фх, то окажется, что
решение ф' = ф2 совпадает с результатом Перринга - Скирма для двух
взаимодействующих уединенных волн. В общем случае решение ф"_х для п - 1
уединенных волн генерирует решение ф" для п уединенных волн. В терминах ф
= tg (ф/4), ф' = tg (ф'/4) преобразование (17.76) записывается так:
Фе = (! + Ф2)-1 {С1 4- Ф'2) % + Я (1 - ф2) ф' + Яф (1 - ф'2)}, Фп = (* +
ФТ1 { - С1 + Ф'2) Фп+X (4 - Ф2) Ф' - х Ф (4 - Ф'2)} ¦
Каждое из этих уравнений дает уравнение Риккати для ф'; кроме того, ф'2
можно исключить и получить для ф' линейное уравнение в частных
производных первого порядка. Решение последнего уравнения в принципе
можно найти всегда, но выражения для ф" становятся все более и более
сложными.
Гл. 17. Точные решения
584
Обратная задача рассеяния для уравнения Sin-Гордона
Недавно Дж. Лэмб [3], а также Абловиц, Каул, Ньюэлл и Сегюр [1] х)
показали, как можно использовать обратную задачу рассеяния. Ключевой шаг
состоит в разбиении задачи на уравнение рассеяния, содержащее искомое
решение ф в качестве коэффициентов, и эволюционное уравнение для
собственных функций. При записи уравнения Sin-Гордона в канонической
форме
<P*f=sin ф
(мы вернулись к ж и I, чтобы подчеркнуть аналогию с предыдущими случаями)
соответствующие уравнения рассеяния имеют вид
-^Г + = -j4>x (х, t) v2,
lkv2 = -р- фх (ж, t) V\,
а эволюционные уравнения для векторной собственной функции (И, v2) - вид
"If-"
dv2 i . .
~af = ^ (ci sin ф- v2 cos ф).
Результаты Захарова и Шабата позволяют теперь восстановить Ф (ж, t).
Здесь также оказывается полезной альтернативная версия, связанная с
уравнениями (17.38) - (17.39).
Цепочка Тоды
Системы точечных масс с нелинейными взаимодействиями между соседними
точками можно рассматривать как модели колебаний решеток в кристаллах,
