Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
кажется ясным, что при больших значениях времени доминирует вклад
точечного спектра. Это означает, что возмущения стремятся перейти в серию
уединенных волн. Анализ ограничен решениями, для которых | и | -*- 0 при
| х | -> оо, но кажется справедливым предположение, что серии уединенных
волн являются конечным результатом развития волновых пакетов,
неустойчивых по отношению к модуляциям.
Уравнение Sin-Гордона
Физические задачи, в которых встречается уравнение Sin-Гордона, были
перечислены в § 14.1. Там же был описан класс решений ср, периодически
осциллирующих около (р = 0. Рассмотрим теперь более общие решения. В
частности, поскольку ср - угловая переменная, решения, в которых ср
возрастает за каждый цикл на 2л, являются физически приемлемыми. Так,
спиральные волны,
17.10. Периодические волновые пакеты
579
для которых ф непрерывно возрастает, рассматриваются как периодические
волновые пакеты. Предельный случай, т. е. одиночная петля с ф,
изменяющимся на 2л при изменении х от -оо до оо, является уединенной
волной. Решения, описывающие взаимодействующие уединенные волны, обладают
теми же самыми свойствами сохранения, что и в предыдущих случаях, и
топологическая интерпретация сохранения петель особенно привлекательна.
17.10. Периодические волновые пакеты и
уединенные волны
Уравнение берется в нормированном виде
4>tt - "Р** + яшф = 0,
и для решений со стационарным профилем ф = Ф (X), X = х - - Ut получаем,
что
(?/2_ i) ф*. + 2 sin21 Ф = А,
где А - постоянная интегрирования, связанная с амплитудой. Можно выделить
следующие случаи.
1. 0 <С А <С 2. U2 - 1 > 0. Это периодические решения, в которых Ф
осциллирует около Ф = 0 в интервале -Ф0 < Ф < < Ф0, где
Ф0 = 2 arc sin ^ J 1 .
2. 0 <; ^4 <Г 2. U2 - 1 < 0. Это периодические решения, в которых Ф
осциллирует около Ф - л в интервале
л - фс < ф < П + Ф0.
3. А <С 0, U2 - 1 <С 0. Это спиральные волны с
Ф* - ± {-jSm (м 1+2ЯП2!(r))}1,2:
Ф монотонно возрастает или убывает.
4. А > 2, U2 - 1 > 0. Это также спиральные волны с
(r)* = ±{7тгЫл--2"|'24ф)},/2-
5. Предельный случай А = 0, U2 - 1 < 0. Решения имеют вид Ф
*(т)'
ехр {dt (1 - U2)-112 (X - Х0)}-
Гл. 17. Точные решения
.580
Они описывают одиночные петли величиной в 2л. Когда в обоих случаях взят
знак плюс, получается положительная петля сФ = = 0 при ж = - оо и Ф 2я
при х = + оо; когда в обоих случаях, взят знак минус, по-прежнему
получается положительная петля, но с Ф = - 2л при х = - оо и Ф = 0 при х
= + сю. Противоположные знаки дают отрицательные петли.
в. Предельный случай А =2, U2 - 1 > 0. Решение имеет вид tg ( ) =
ехр ^
и описывает петлю, заключенную между Ф = - л иФ = л.
Соображения устойчивости из § 14.2 и 15.3 показывают, что периодические
волны, описанные выше в случае 1, неустойчивы по отношению к модуляциям.
Эти соображения можно обобщить на другие типы решений и показать, что
случаи 1 и 2 неустойчивы, тогда как спиральные волны 3 и 4 устойчивы.
Следует помнить, что эти соображения устойчивости применимы только к
относительно длительным модуляциям. Они не позволяют полностью судить об
устойчивости, а также не применимы к предельным случаям .5 и в. Следует
ожидать, что случай 6 неустойчив, поскольку Ф = ± л на бесконечности.
Например, в маятниковой модели Скотта это соответствует маятнику в
верхнем вертикальном положении. Обратимся теперь к уединенным волнам
(случай 5).
17.11. Взаимодействие уединенных волн
Перринг иСкирм [1], по-видимому, догадались, что их численное решение для
двух взаимодействующих уединенных волн может быть представлено выражением
м. . Ф _ и х (1 ~~ Г2)-1/2 (17 71)
Ч' - Ж 4 - и chf/*(1 - г/2)-1/2* О'-'Н
а затем установили, что это точное решение! Для того чтобы убедиться в
том, что формула (17.71) описывает взаимодействие двух уединенных волн,
заметим, что при t -> ± оо она дает следующую асимптотику:
Umf(yr=k)~Umv(-yT=k)-'^+"= *~-и(tm)*(-уВк)+иехр(уг=к)-
17.11. Взаимодействие уединенных волн
581
Каждое из этих выражений описывает уединенные волны, движущиеся в
противоположных направлениях. Положительная петуш движется со скоростью
U, приходит из х = -¦ оо и остается положительной после взаимодействия.
Множитель U перед экспонентами можно включить в экспоненты как сдвиги по
х. Положительная петля, приходящая из •-оо, в результате взаимодействия
сдвигается на
2|ЛйГ?/21п(1/?/).
Выражение, содержащее я)' = tg (ср/4), наводит на мысль, что
преобразование исходного уравнения в уравпение для if может оказаться
полезным в общем случае. Уравнение, которому удовлетворяет г}', а именно
(1 + ф2) (ф<г - я^ж + Ф) 2ф (я];( - ф2 + ф2) = 0, (17.72)
обладает более симметричной структурой и вводит наиболее естественный для
данной задачи линейный оператор
W-l?r + l- (17-73>
Это в некоторой степени напоминает роль, которую играет уравнение (17.11)
для функции F в обсуждении уравнения Кортевега- де Фриза. Решения
уравнения (17.72), соответствующие уединенным волнам, имеют вид
