Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Ut)
(tf-yT]) *]'(*)= j K{X-y)X(y)dy. (13.132)
Возможность заострения связана с возникновением разрыва производной т]'
при т] = 2Z7/3 и это, по существу, дает соотношение между скоростью и
амплитудой для волны наибольшей высоты. Интегрируя уравнение, получаем
A+t/T]-|-Tf= j K(X-y)X(y)dy. (13.133)
Волны Стокса для случая малой амплитуды можно найти, исходя из линейного
решения, и кажется разумным предположить, что критическая высота
действительно достигается при г) = 2С//3. Если К (X) ведет себя как | X
|р при X -> 0, а т] (X) имеет при X О вид 2С//3 - | X I17, то
исследование уравнения (13.132) показывает, что
2q-l=p + q, (13.134)
откуда q = р + 1. В соответствии с этим при К = Kg гребень будет
заостряться с rj -• 2/3 С/ - | X I1/2. Конечно, было бы наивно надеяться,
что в этой упрощенной модели получится тонкий результат Стокса - угол,
равный 120°.
Хотя это все, что можно получить для случая К - Kg, можно продвинуться
дальше, если рассмотреть приближенное ядро. Прием, часто используемый в
интегральных уравнениях такого вида, состоит в аппроксимации данного ядра
функцией
К0 (х) = pe_v|xl,
43.14. Опрокидывание и заострение волн
461
или рядом таких экспонент. Ядро К0 (х) является функцией Грина для
оператора d?/dx2 - v2, поэтому, применяя этот оператор к обеим частям
равенства (13.133), можно исключить интеграл. Мы не можем уловить
поведение функции Ке (х) при х ->- 0, но, положив v = л/2, достаточно
хорошо опишем поведение при я-*- оо, а затем выберем р, таким образом,
чтобы
[ос
j K0(x)dx=^-= 1,
т. е. р = я/4, v = я/2. Поскольку
Ц^-Ж0{х)== -v26(x), уравнение (13.133) переходит в следующее:
( zp"-v2) (A+Ur\-3u rf) = -*4
После элементарного интегрирования получаем
{и-|-r] j2ц'2 = полином четвертого порядка по ц.
Периодические решения соответствуют осцилляциям функции ц между двумя
простыми нулями получившегося полинома. Уединенные волны соответствуют
предельному случаю, когда два нуля сливаются в точке ц = 0; тогда г]
возрастает от этого двойного нуля (соответствующего X = +оо) до простого
нуля ц = г]0 и убывает снова до т| = 0 при X = -оо. Все это верно при
условии, что точка т] = 2/7/3 находится вне этого интервала. Можно
показать, что гребни заостряются с конечным углом, когда точка ц = 2/7/3
в точности совпадает с верхним нулем. Все эти детали мы приводить не
будем. Заметим лишь, что уединенная волна максимальной высоты имеет
следующий вид:1
П = /7 = у
(в единицах длины h0 и скорости е0). Мак-Кауэн [1] при помощи
приближенного рассмотрения задачи об уединенной волне получил значения
т]0 = 0,78 и U - 1,249. Согласование можно назвать неплохим. Гребень
имеет конечный угол, равный 110°. Конечный угол согласуется с равенством
(13.134), поскольку для ядра К0 р = 0, q = 1; близость к результату
Стокса 120° чисто случайна. Оставляя в стороне вопрос, можно ли принимать
всерьез полученные значения, видим, что уравнение вида (13.128) может
описывать периодические и уединенные волны с желаемым заострением.
Гл. 13. Волны на воде
462
Обращаясь теперь к другому виду разрушения решений, заметим, что Селиджер
[1] при помощи довольно тонких рассуждений смог показать, что для ядер
вида К0 (х) достаточно асимметричный горб опрокидывается типично
гиперболическим способом. Он, однако, требовал, чтобы К (0) было конечным
(а также, чтобы
~xjt) xjtj
Рис 13.5. Обозначения в задаче об опрокидывании волны.
К (х) монотонного убывало при х ->- оо), и не смог распространить свои
рассуждения Haj Kg. Коротко говоря, его способ состоит-в следующем. Пусть
mi (0 = niin 11* ПРИ х = Хг (t), т2 (t) = max при х = Х2 (t)
(см. рис. 13.5), где тщ < 0 и пг2 > 0. Дифференцируя уравнение-(13.128) и
полагая х - Xt (t), имеем
j K(l)4xx{Xt-l, t)d^0, i = 1, 2.
Интегралы можно оценить через и т2, используя соответствующую теорему о
среднем, и получить
1 + (т2-mt) К (0),
т\ + (тг-т1)К(0).
Складывая, находим
(т + т2)С (т2 - m") 12К (0) +(mt + т2)} - 3т\-,
отсюда, если первоначально (т1 + т2) ^ -4К (0)/3, то это неравенство
останется справедливым и в дальнейшем, так что
-f m2<--|-^(0) (13.135)
13.15. Модель структуры боры
463:
|т*-2|МГ(0)-itf*(0) =
3 {mi + |^(0)}2_|^(0). (13.136)
Правая часть этого выражения отрицательна, и из наличия члена с т\
вытекает, что т1 -> -оо за конечный интервал времени; детали видны из
следующих рассуждений. Пусть М = -3/2 1Щ - К (0); тогда М = Мо > 0
первоначально (в силу (13.135) и условия! 77^2 >0); более того,
согласно (13.136). Следовательно,
-JL (_Ll <; i _L_<; - i ц{ ^ __
dt I MJ ^ ' M ^ M0 ' 1 ~M0t *
откуда M ->¦ оо, когда t достигает 1 lM0. Таким образом приходим к
выводу, что если условие (13.135) выполнено первоначально,, т. е. если
горб достаточно асимметричен, то он постепенно становится все
асимметричнее и опрокидывается при т1 -> -схз за интервал времени,
меньший, чем
1 1_________________
М0 "(-{з/асМОН-А: (0)} *
Снова оставляя в стороне вопрос о справедливости модели,, мы показали,
