Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
наиболее известные из всех волн, являются диспергирующими и описываются
уравнением Лапласа с необычными граничными условиями на свободной
поверхности.
Первая часть этой книги посвящена гиперболическим, а вторая -
диспергирующим волнам. Теория гиперболических волн снова встречается при
изучении диспергирующих волн в различных любопытных ситуациях, так что
вторая часть не является полностью независимой от первой. Оставшаяся
часть настоящей главы посвящена обзору ряда вопросов, большая часть
которых затем подробно разбирается в книге. Цель этого обзора - дать
представление о материале в целом и в то же время привести к общему
взгляду на теорию, что трудно сделать при подробном изложении.
1.2. Гиперболические волны
Волновое уравнение (1.1) встречается в акустике, теории упругости и
электромагнетизме, и его основные свойства и решения впервые были изучены
в этих областях классической физики. Во всех перечисленных случаях оно,
одна ко,не дает полного описания процесса.
В акустике исходят из уравнений для сжимаемой жидкости. Даже без учета
вязкости и теплопроводности это система нелинейных уравнений относительно
вектора скорости и, плотности р и давления р. Акустика описывается
приближенной линейной
1.2. Гиперболические волны
11
теорией с малыми возмущениями равновесного состояния, в котором и = 0, р
= р0, р - р0. Уравнения линеаризуются за счет сохранения только членов
первого порядка по малым величинам и. р - р0, р - р0, т. е. за счет
отбрасывания всех членов со степенями малых величин выше первой и с их
произведениями. Можно показать, что в этом случае и каждая компонента
вектора и, и возмущения р - р0, р - р" удовлетворяют волновому уравнению
(1.1).
Найдя решение этого уравнения при надлежащих граничных или начальных
условиях, определяемых источником звука, естественно задаться рядом
вопросов о связи полученного решения с исходными нелинейными уравнениями.
Являются ли линейные результаты адекватными, хотя бы для малых
возмущений, и не теряются ли при таком приближении какие-либо
существенные качественные черты? Если возмущения не являются малыми (как
при взрыве или при движении сверхзвукового самолета и ракеты), то какие
результаты можно получить непосредственно из исходных нелинейных
уравнений? Какие изменения происходят при учете вязкости и
теплопроводности? Ответы на эти вопросы в газовой динамике приводят к
основным идеям нелинейных гиперболических волн. Наиболее интересным
явлением, которое описывается лишь нелинейной теорией, оказываются
ударные волны, представляющие собой резкие скачки давления, плотности и
скорости, например ударные волны при сильном взрыве и звуковые удары при
движении высокоскоростных самолетов. Для их предсказания потребовалось
развить весь сложный аппарат теории нелинейных гиперболических уравнений,
а для полного понимания понадобились анализ эффектов вязкости и некоторые
аспекты кинетической теории газов.
Таким образом, круг основных идей становится ясным уже в газовой
динамике, однако изучение более сложных случаев требует развития
кинетической теории. Основная математическая теория, развитая в газовой
динамике, подходит для любых систем, описываемых нелинейными
гиперболическими уравнениями; она использовалась и уточнялась во многих
других областях.
В теории упругости классическая волновая теория также полу чается после
линеаризации. Однако даже в линейном случае ситуация оказывается более
сложной, поскольку исходная система уравнений приводит по существу к двум
волновым уравнениям вида (1.1) для двух функций ф,, ф2 и двух скоростей
сх, с2, отвечающим движению продольной и поперечной волы (волны сжатия и
волны сдвига). Функции фх и ф2 связаны надлежащими граничными условиями,
так что в общем случае задача гораздо сложнее, чем просто решение
уравнения (1.1). На свободной поверхности упругого тела возникает новое
усложнение, поскольку возможно появление поверхностных волы, так
называемых волн Рэлея,
Гл. 1. Введение и общин обзор
12
которые приближаются к диспергирующим волнам и распространяются со
скоростью, промежуточной между сх и с2. В силу этих дополнительных
усложнений, нелинейная теория не была развита здесь в такой степени, как
в газовой динамике.
В электромагнетизме также имеется усложнение, связанное с тем, что
различные компоненты электрического и магнитного полей, удовлетворяя
уравнениям (1.1), связаны, кроме того, дополнительными уравнениями и
граничными условиями. Хотя классические уравнения Максвелла с самого
начала записываются в линейной форме, в настоящее время значительный
интерес представляет "нелинейная оптика", поскольку, например,
лазеры
создают волны высокой интенсивности, на которые ряд сред реагирует
нелинейным образом.
Соответствующая математическая теория начинается с изучения решений
уравнения (1.1). Самым простым является одномерное уравнение для плоских
волн
ф tt ^оФэсх (^¦•^)
Введя новые переменные
а = х - с0?, р = х -f- c0t, (1.6)
