Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Сравнение этих упрощенных условий на разрыве для вторичной ударной волны
и результатов для отражения Маха с тремя ударными волнами будет дано на
рис. 8.11 (см. стр. 290). Оно подтверждает нашу точку зрения о
нецелесообразности более тщательного рассмотрения данного вопроса в
рамках этой приближенной теории.
8.7. Дифракция плоских ударных волн
Рассмотрим теперь приложения общей теории и начнем с задачи о дифракции
плоской ударной волны, распространяющейся вдоль закругленной стенки.
Геометрия для выпуклой стенки представлена на рис. 8.2. Стенка является
лучом, и ее форма задает граничное значение 0 = 0ц, на стенке. Если
использовать (а, [^-координаты, то стенку (границу) можно принять за луч
(3 = 0.
Заметим, что является известной функцией расстояния s вдоль стенки.
Однако если на границе мы положим 0 = 0ц, (а), то сможем найти связь
между айв лишь из окончательного решения. Для простых форм, подобных
углам, такого соотношения не требуется, поскольку 0Ш просто принимает
постоянные значения на обеих сторонах угла и (а, (З)-описание упрощается.
Для более общих форм, для которых это неявное соотношение будет
неудобным, обычно лучше работать в (х, г/)-описании и использовать
эквивалентную систему уравнений (8.78).
Граница сначала представляет собой прямую с 0ц, = 0, и ударная волна
однородна с 0 = 0, М - М0. Положим, что (3 равно расстоянию от границы
невозмущенной области, так что А0 = 1 и применимо равенство (8.64).
Положим, далее, что а = 0 в точке, где граница начинает искривляться;
тогда полная задача состоит в решении уравнений (8.65) со следующими
начальными и граничными условиями:
0 = 0, М = М0 при сс = 0, 0 < р < оо,
0 = 0ц,(а) при (3 = 0, 0 С а С оо.
Распространение волн вдоль ударной волны аналогично одномерным волнам в
гавовой динамике. Отклонение стенки соответствует движению поршня, и
можно представить себе, что это
8.7. Дифракция плоских ударных волн
283
отклонение тянет или толкает основание ударной волны и посылает волны
вдоль нее. Выпуклая граница соответствует вытягиваемому поршню,
посылающему волны разрежения, тогда как вогнутая - поршню, генерирующему
волны сжатия. В силу точно таких же рассуждений, как и в § 6.8, решение в
каждом случае является простой волной до тех пор, пока в результате
опрокидывания не образуются вторичные ударные волны. Определяемый
формулой (8.69) С-инвариант постоянен всюду, поскольку все характеристики
С_ начинаются в однородной области перед волнами, в которой 0 = 0 и М =
М0. Следовательно,
0 - со (М) = - со (А/0) (8.83)
всюду, причем to (М) определяется равенством (8.72). В частности,
число Маха Mw у стенки, которое, пожалуй, является наиболее
важным результатом, выражается через 0^ без дальнейшего решения исходных
уравнений. Имеем
ви, = СО (MJ - со (Мо). (8.84)
Значение М w, соответствующее любому конкретному значению 0 ш, получается
из этого соотношения при помощи табл. 8.3.
Рис. 8.7. Характеристики для дифракции ударной волны.
В простой волне граничные значения распространяются в область течения и
остаются постоянными на характеристиках С+, изображенных на рис. 8.7.
Если характеристическая переменная т определена как значение а в точке
пересечения этой характеристики с границей р = 0, то решение в виде
простой волны имеет вид
е = еш(т), M = M"(0IO), р = (a-r)c(Mw). (8.85) Соответствующие
соотношения в (ж, г/)-описании таковы:
6 = 0ш= arc tg y'w (I), M = Mw (0(tm)), y = y!0(i) + (^-i)tg(0U)+mu,). '
'
Гл. 8. Динамика ударных волн
284
Разрежение около угла
Для выпуклого угла 0 скачком меняется от 0 до некоторой отрицательной
величины 0 ц, и остается равным зтой величине. Соответствующее граничное
значение числа Маха скачком меняется от М0 до величины М w, определяемой
равенством (8.84).
Рис. 8.8. Теоретическая форма ударной волны для дифракции на угле в 90°.
Возмущение является центрированной простой волной (см. рис. 8.8), и
решение для числа Маха М в этой волне находится из соотношений
(8.87)
Соответствующее значение 0 дается равенством (8.83). Вдоль ударной волны
дх
¦ = - sin t
Ад$
- COS I
следовательно, в момент времени t = а/а0 ударная волна описывается
следующими параметрическими уравнениями:
х - aMw cos 0U
f{M)
f(M0) ""•'"Г. у = аМшsin 0Ш-f- j ¦ cosddp.
8.7. Дифракция плоских ударных волн
285
Поскольку М и 0 являются функциями одной переменной f>/a, отсюда следует,
что х/а и у/а тоже функции одной этой переменной. Следовательно, ударная
волна со временем равномерно расширяется. Это можно было бы предсказать
заранее непосредственно из соображений размерностей. В данной задаче нет
характерной длины или интервала времени, так что все параметры течения
должны быть функциями от x/(a0t) и y/(a0t). Это одинаково верно и в
точной теории, и в приближенной геометрической теории.
Первое возмущение распространяется по характеристике |3 = = ас (М0).
Поскольку (5 измеряется расстоянием от границы по исходной невозмущенной
ударной волне и а = а0 (t), скорость в физическом пространстве равна а0с
