Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
опрокидываться в силу нелинейности. Исходя из известных нам результатов
для аналогичных вадач, можно предположить, что придется ввести разрывы
переменных М и 0, соответствующие изломам фронта ударной волны, как
показано на рис. 8.6. В этой приближенной теории мы следуем обычной
интерпретации таких разрывов типа "ударной волны" и выводим условия на
разрыве из основных уравнений в форме законов сохранения. Такие "ударные
волны" в исходной газодинамической ударной волне мы будем называть
вторичными ударными волнами *).
Эти вторичные ударные волны интерпретируются как след близких к
цилиндрическим волн, распространяющихся в течении за
*) Из всех возможных эквивалентов нетривиального термина "shock-snocks",
использованного в оригинале, этот представился нам наиболее приемлемым.-
Прим. ред.
Гл. 8. Динамика ударных волн
280
ударной волной. Вторичная ударная волна представляет собой след настоящей
газодинамической ударной волны в течении за основной ударной волной.
Таким образом, это соответствует отражению Маха с тремя ударными волнами
(описанному в конце
Рис. 8.6. Линейные элементы для вторичной ударной волны.
гл. 6), которое было изучено и описано независимо от излагаемой теории. В
дальнейшем мы обсудим связь с отражением [Маха более подробно.
Дифференциальные уравнения (8.59) и (8.60) рассматриваемой теории были
получены с помощью метрики (8.57) в (а, [Д-простран-стве. Для вывода
условий на разрыве требуется соответствующая интегральная форма
уравнений. Рассмотрим окрестность разрыва для двух последовательных
положений ударной волны, как показано на рис. 8.6. Пусть разность а-
координат для этих положений ударной волны составляет Да, а разность p-
координат составляет Др. Пусть, далее, индексы 1 и 2 означают величины до
разрыва и после него. Тогда, согласно рис. 8.6, PQ - М2Да, QR - - Д2АР,
SR = МхДа, PS = ЛхДр. Выражая расстояние PR двумя различными способами,
получаем
(Mi Да)2 + (ЛДР)2 = (ДГ, Да)2 + (Д2Др)2.
Но отношение Др/Да равно скорости С вторичной ударной волны в (а, Р)-
координатах, откуда
Iе*= ~ Ма1-'Д - (8-80>
Соответствующий скачок переменной 0 определяется равенством ctg(0i-e,) =
tg и RPQ + ^RPS)~ .
8.6. Вторичные ударные волны
281
Подставляя для С выражение (8.80), находим
/р о\ (М%-(А? 811
tg("2 "о- а2м2+а1м1 • (й'й1'
В декартовых координатах (ж, у) равенство (8.80) преобразуется к виду
tg(X-eO = ^-(^|^-)1/2, i= 1 ИЛИ 2, (8.82)
где % - угол, составляемый фронтом вторичной ударной волны с осью х.
Предполагается, что функциональное соотношение (8.61) между А и М
остается в силе и для резкого изменения площади канала в месте
возникновения вторичной ударной волны, скорость С выражается через и Мй
формулой (8.80), а скачок переменной 0 определяется равенством (8.81).
Тогда легко проверить, что для слабых вторичных ударных волн, когда М2 -
0, величина
(8.80) сводится, как и должно быть, к характеристической скорости (8.67),
а выражение (8.81) сводится к выражению для инварианта Римана. Однако для
достаточно сильных вторичных ударных волн равенство (8.61) будет неточно
определять зависимость As от Мо, поскольку эта зависимость выведена в
предположении о медленном изменении сечения канала.
Вопрос не исчерпывается установлением правильных формул, связывающих М и
А при резком изменении сечения канала; такие формулы были найдены
Лапортом [1]. Фактически, как следует из традиционного рассмотрения
отражения Маха, существуют третья ударная волна и вихревой след за
основной ударной волной. Поэтому на основе анализа таких конфигураций с
тремя ударными волнами в принципе можно получить дополнительные
соотношения. Это привело бы к усложнениям, деталями которых заниматься,
по-видимому, не стоит в силу приближенного характера теории. Можпо,
однако, отметить, что если зто проделать, то связь между А и М для волн,
следующих за вторичной ударной волной, примет вид
А = к (Р) / (М),
где к (Р) = AJf (Мц) определяется из соотношений для трех ударных волн;
было бы неверным продолжить это соотношение между А и М через вторичную
ударную волну назад в исходное положение и положить к = A0/f (М0).
В целом ситуация аналогична тому, что происходит с энтропией в обычной
газовой динамике, где прежде всего полагают р - р (р), и это приводит к
простым волнам. Но затем, поскольку волны сжатия опрокидываются,
приходится вводить ударные волны, а они приводят к изменениям энтропии,
так что р больше не
Гл. 8. Динамика ударных волн
282
является функцией только от р; за ударной волной энтропия постоянна лишь
на траектории данной частицы. Аналогично обстоит дело с А и М, подобными
р и р, и к, играющим роль энтропии. Более простая теория вторичных
ударных волн (8.80) и (8.81) с А = А (М) подобна пренебрежению
изменениями энтропии в газодинамических ударных волнах. Последнее, как
известно, приводит к точным результатам, если разрывы не слишком велики,
и можно ожидать, что это же будет верно и в данном случае.
