Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
избранным областям, чем провести поверхностный обзор приложений к
системам уравнений, выбранных из всевозможных разделов физики.
Книга делится на две части; первая из них посвяшена гиперболическим
волнам, вторая - диспергирующим волнам. Различие между этими двумя
понятиями будет пояснено в следующем параграфе. В части I основные идеи
содержатся в главах 2. о и 7. а в части II -в главах 11, 14, 15 и 17. В
промежуточных главах общие идеи излагаются в частных контекстах; эти
главы можно читать полностью или выборочно в зависимости от интересов
читателя- Можно также сразу после главы 2 перейти к чтению части II.
1.1. Два основных класса волновых движений
По-видимому, не существует единого строгого определения волн. Можно дать
различные частные определения, но чтобы охватить весь диапазон волновых
процессов, предпочтительнее руководствоваться интуитивным представлением
о волне как о любом различимом сигнале, передающемся от одной части среды
к другой с некоторой определенной скоростью. Такой сигнал может быть
возмущением любого вида, например максимумом какой-либо величины или
резким ее изменением при условии, что это возмущение четко выделено и что
в любой заданный момент времени можно определить его местонахождение.
Этот сигнал может искажаться, изменять свою величину и скорость, но при
этом должен оставаться различимым. Такое определение может показаться
несколь-
1.1. Два основных класса волновых движений
9
ко расплывчатым, но оно оказывается вполне приемлемым, а любая попытка
дать более строгое представляется слишком ограничительной, поскольку
различным типам волн присущи различные характерные черты.
Тем не менее можно выделить два основных класса волн. Первый класс
описывается математически (гиперболическими уравнениями в частных
производных); волны этого класса будут называться гиперболическими.
Второй класс столь просто характеризовать нельзя, но, поскольку
простейшими его представителями являются диспергирующие волны в линейных
задачах, мы будем называть все волны этого класса диспергирующими и лишь
постепенно разовьем более полное его описание. Наше деление на классы не
является исчерпывающим. С одной стороны, эти классы пересекаются, так как
в некоторых волновых движениях проявляются оба типа поведения, а с другой
существуют исключения, не соответствующие ни одному из них.
При описании гиперболических волн за основу часто берут волновое
уравнение
<Ptt = coV2q>, (1.1)
хотя более простым является уравнение
Фг + соФ* = 0. (1.2)
Как мы увидим, существует четкое определение гиперболических уравнений,
зависящее только от вида уравнений и не зависящее от возможности
получения решений в явном виде. С другой стороны, понятие диспергирующих
волн связано скорее с характерным видом решений, чем с типом уравнения.
Линейная диспергирующая система -это любая система, имеющая решения вида
Ф - a cos (хх - tot), (1-3)
где частота to представляет собой известную вещественную функцию
волнового числа х, причем функция to (х) определяется выбором системы.
Фазовая скорость в данном случае равна to (х)/х, и волны обычно называют
диспергирующими, если эта фазовая скорость не постоянна, а зависит от х.
Такой термин указывает на то, что более общее решение является суммой мод
вида (1.3) с различными значениями х. (В самом общем случае эта сумма
переходит в интеграл Фурье.) Если фазовая скорость ю/х
зависит от х, т. е. если ю ф с0х, где с0 - некоторая
постоянная, то
моды с различными х будут распространяться с различными скоростями и
волна будет диспергировать (расползаться). Удобна несколько изменить это
определение и говорить, что волна вида (1.3) является диспергирующей,
если to' (х) не постоянна, т. е. если to" (х) ф 0.
Гл. 1. Введение и общий обзор
10
Следует отметить, что функция (1.3) является также решением
гиперболического уравнения (1.2) с to - с0х или уравнения (1.1) с to = ±
но эти случаи исключаются из диспергирующего класса условием со" Ф 0.
Однако нетрудно привести примеры действительного пересечения классов,
когда уравнения оказываются гиперболическими, и в то же время имеют
решения вида (1.3) с нетривиальными дисперсионными соотношениями to = to
(х). Один из таких примеров - уравнение Клейна - Гордона
<Р" - Фх.т "г Ф = 0, (1.4)
которое является гиперболическим и имеет решение (1.3) с со2 = - У-1 ¦+
1. Такое двойственное поведение встречается сравнительно редко и не
должно затмевать общее глубокое различие двух основных классов. Возможно,
оно является причиной довольно распространенного недоразумения
(поддерживаемого, в частности, в математической литературе), согласно
которому волновое движение полностью описывается гиперболическими
уравнениями, а подход с помощью функций (1.3) считается менее научным. На
самом деле скорее верно обратное. Несмотря на обширность и разнообразие
класса гиперболических волн, большая часть волновых процессов, по-
видимому, все же относится к классу диспергирующих волн. Океанские волны,
