История теории эфира и электричества - Уиттекер Э.
ISBN 5-93972-070-6
Скачать (прямая ссылка):
(Electromagnetic Theory, II, с. 32).
^Коши, Exercices de Mathematiques, III (1828), с. 160.
^Это обозначение ввели позднее, но здесь мы его используем, чтобы
впоследствии избежать изменений.
^Чтобы создать тело, упругие свойства которого не ограничиваются этим
уравнением, Уильям Макуорн Ранкин (1820-72) рассмотрел непрерывную
жидкость, в которой расположено множество точечных центров силы.
Предполагается, что эта
162
Глава 5
Реальные тела не всегда подчиняются этому условию; например, для каучука
величина к гораздо больше отношения 5гг/З,1 и, видимо, не существует
причины накладывать такое ограничение на эфир.
В том же самом году Пуассон2 успешно решил это дифференциальное
уравнение, показав тем самым, что оно определяет волновые движения,
которые могут распространяться в упругом твердом теле. Решение,
одновременно простое и изящное, можно получить следующим образом.
Разложим вектор смещения е на две составляющие, одна из которых с
является вихревой, или удовлетворяет условию
dive = О,
а вторая - b - невихревой, или удовлетворяет условию
rot b = 0.
Тогда исходное уравнение принимает вид
(b + с) - nV2c - (к + V2b = 0.
По отдельности члены, содержащие Ь, и члены, содержащие с, должны быть
равны нулю, поскольку они представляют соответственно невихревую и
вихревую части уравнения. Таким образом, с удовлетворяет двум уравнениям
р^-тг =п\72 с, dive = 0, dt2
а b определяется из
V2b, rot b = 0.
жидкость частично сгущается вокруг этих центров, причем упругая атмосфера
каждого ядра удерживается вокруг него под действием притяжения. Таким
образом, жидкость придает телу дополнительную объемную упругость, тогда
исчезает необходимость в уравнении, связывающем к и п. Ср. Ранкин
Miscellaneous Scientific Papers, стр. 81.
Сэр Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1889 году, используя пары разнородных
атомов, создал твердое тело, которое не подчиняется условию Навье. Ср.
Томсон Papers, III, с. 395; ср. также Baltimore Lectures, с. 123.
^Однако можно возразить, что каучук и другие тела, которые не подчиняются
условию Навье, не являются истинно твердыми телами. Об этом историческом
споре см. Тотхантер и Пирсон History of Elasticity, I, с. 496.
^Mem. de Г Acad. VIII (1828), c. 623. Пуассон берет это уравнение в
ограниченной форме, данной Навье; но это никак не влияет на вопрос
распространения волн.
Эфир как упругое твердое тело
163
Несложно увидеть, что частным решением уравнений для с является
представляющее поперечную плоскую волну, которая распространя
дифференциальных уравнений для с состоит из подобных волн, которые
распространяясь во всех направлениях, накладываются друг на друга.
Частным решением уравнений для b является
Это решение представляет продольную волну, которая распространя ется со
скоростью
причем общее решение дифференциального уравнения для b образуется
наложением подобных волн, которые распространяются во всех направлениях.
Таким образом, Пуассон обнаружил, что в упругом твердом теле существует
два вида волн: волны с - поперечные и распространяются со скоростью
(п/р)1/2, а волны b - продольные и распространя-
волны разрежения и сгущения, подобные звуковым волнам; с другой стороны,
в с волнах среда не разрежается и не сгущается, а только
^Ср. Стокс, "On the Dynamical Problem of Diffraction", Camb. Phil. Trans.
IX, 1849, с. 1: Math, and Phys. Papers II, c. 243.
^Можно без труда показать, что любое возмущение как в изотропной, так и в
кристаллической среде, для которого направление колебаний молекул
находится в волновом фронте или поверхности постоянной фазы, должно
удовлетворять уравнению
где е обозначает смещение. С другой стороны, если колебания молекул
происходят в направлении, перпендикулярном фронту волны, возмущение
должно удовлетворять уравнению
rot е = 0.
Эти результаты доказал М. О'Брайен, Trans. Camb. Phil. Soc. VII (1842),
с. 397.
ется со скоростью
Можно показать, что общее решение
ются со скоростью
Последний тип волн - это
деформируется согласно закону сохранения постоянной плотности2.
dive = 0,
164
Глава 5
Все исследования, о которых шла речь до настоящего момента, касались
изотропных тел. В 1828 году1 Коши распространил эти уравнения и на
кристаллические вещества. Однако он завершил это, только возвратившись к
плану Навье, который рассматривал упругое тело как скопление частиц,
притягивающих друг друга с силой, которая зависит от расстояния между
ними; анизотропию он объяснил, допустив, что в одних направлениях частицы
располагаются более плотно, чем в других.
Общие уравнения, полученные таким образом для колебаний упругого твердого
тела, содержат 21 постоянную; шесть из которых зависят от начального
давления, так что, если первоначально в теле отсутствует состояние
давления, то остается только 15 постоянных. Если при сохраненном
начальном давлении счесть среду симметричной по отношению к трем
взаимноортогональным плоскостям, то из 21 постоянной остается 9, а
уравнения, определяющие колебания, можно записать в форме^
