История теории эфира и электричества - Уиттекер Э.
ISBN 5-93972-070-6
Скачать (прямая ссылка):
бы разности температуры, способные создать механическую работу, что
противоречило бы второму закону термодинамики.
Отсюда следует, что если при распределении лучистой энергии, находящейся
в равновесии с излучающей полостью при температуре Т, мы умножим длины
волн на к(= Г2/Г1) , а энергию на кубическую ячейку в каждой длине волны
на к~4, то мы получим
Классическая теория излучения
449
распределение лучистой энергии, которая будет находиться в равновесии с
излучающей оболочкой при температуре /с_1Т.
Таким образом,
k~4F(\,T)d\ = F(kX,k~1T)d(kX),
откуда видно, что F(X,T) d\ должна иметь вид T5if(TX)dX, что ввиду
последних выводов можно записать как Т~4^р(ТЛ) dX, где ср - функция
исключительно аргумента ТА. Это и есть теорема Вина.
Отсюда следует, что если за Хт обозначить длину волны, соответствующую
максимальному значению ординаты графика (абсциссой которого является
излучаемая энергия), то мы должны получить
А тТ = const,
следовательно, Хт обратно пропорциональна температуре. Это известно как
закон смещения Вина.
Три года спустя Вин^ исследовал вид функции <р(ТА). Он заметил, что
закон, согласно которому в разряженном сосуде излучение аналогично
излучению абсолютно черного тела, при условии равенства температуры тела
и стенок сосуда, справедлив и для случая, когда излучающим веществом
является газ, отделенный от вакуума прозрачным окошком, а от окружающей
среды - зеркальными стенками. При этом газ обладает конечной поглощающей
способностью излучения всех длин волн и испускает лучи при чисто
температурной активизации. Предположим, что закон распределения скоростей
Максвелла верен2, тогда количество молекул, скорость которых находится в
диапазоне от V до v + dv, пропорционально
v2e-y2/a2dv,
где а - постоянная, связанная со средней квадратичной скоростью
выражением
=i"a-
Следовательно, абсолютная температура пропорциональна а2. Мы принимаем,
что каждая молекула посылает колебания, длина волны и интенсивность
которых зависят только от скорости молекулы.
хАпп. d. Phys. LVIII (1896), с. 662; Phil. Mag. XLIII (1897), с. 214.
^ Можно заметить, что попытку определить закон излучения абсолютно
черного тела, принимая, что для его молекул справедлив закон
распределения скоростей Максвелла, сделал Владимир А. Михельсон, Journal
de Physique VI (1887), с. 467.
450
Глава 12
Поскольку длина волны Л излучения, испущенного любой молекулой, является
функцией V, то, следовательно, V является функцией Л. Значит,
интенсивность _Т(А,Т) излучения, длина волны которого находится между А и
А + d\, пропорциональна количеству молекул, испускающих излучение этого
периода, а также функции скорости v (т. е. функции А). Поэтому
_fW
F(\, Т) = д(\)е- т ,
где 5й/ обозначают неизвестные функции. Однако из предыдущей работы Вина
нам известно, что
F(А, Т) = \~5(р(Т\).
Объединяя эти результаты, мы имеем
Ъ
F(X, Т) = СХ~5е
что представляет собой закон излучения Вина. Экспериментальные данные
подтвердили правильность этой формулы в области высоких частот, но только
для коротких волн. На другом конце графика F(А, Т) находится область
низких частот, для которой используется другая формула; ее вывод мы
сейчас объясним.
Если смешать несколько разных газов (изначально они могут иметь различную
температуру), то, в конечном итоге, температура смеси будет одинакова в
любой ее точке. Так как температура пропорциональна средней кинетической
энергии молекулы, то, очевидно, что система стремится к состоянию, в
котором средняя кинетическая энергия одинакова для молекул с различной
массой: недостаточность массы легких молекул компенсируется тем, что они
движутся с большей скоростью. Это частный пример теоремы равномерного
распределения энергии по степеням свободы, которая гласит, что в
состоянии статистического равновесия при абсолютной температуре Т, полная
энергия любой системы, подчиняющейся законам динамики, распределяется
таким образом, что каждая степень свободы обладает, в среднем, одинаковой
кинетической энергией, равной т^кТ, где к - постоянная Больцмана. Таким
образом, для атома одноатомного газа, имеющего три степени свободы,
средняя кинетическая энергия
Классическая теория излучения
451
при температуре Т равна т;кТ. Эту теорему вывели Максвелл^ и Больцман^.
Некоторые весьма привычные явления можно объяснить с помощью закона о
равномерном распределении энергии по степеням свободы. Например, если
полый твердый сосуд наполнен воздухом, в котором создается случайное
возмущение, то со временем это возмущение перейдет в хаотическое движение
молекул, которое является предметом изучения в кинетической теории газов.
Дело в том, что любое движение в воздухе можно рассматривать как
суперпозицию различных видов свободного колебания. Количество видов
свободного колебания огромно, а видов колебаний в диапазоне
ультракоротких длин волн гораздо больше, чем видов колебаний в диапазоне
длинных волн. В теореме равномерного распределения энергии каждый вид
