Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
фокусы эллипсов С, Eh(P0) соответственно. Пусть Р0*- точка эллипса С,
лежащая на продолжении прямой РаЕ (рис. 5). Тогда
ОР0 + P0F = 2а, (III)
ОР; + Р>'=2а, (IV)
P0F + P'0F = РоР*. (V)
причем справедливость (V) очевидна из рис. 5. Из этого рисунка также
видно, что еслп Р0* Ф Р, то три точки Ра, Р, F или неколлинеарны или Р =
Р0. При этом Р0Р < P0F + PF в обоих случаях. Это неравенство с учетом (I)
и (III) можно записать в виде
ОР + РР0 < 4а - ОР0,
так что в силу (II) точка Р лежит внутри эллипса 7?л(Р0). Если же Р = Р0,
то из (III), (IV), (V) следует, что соотношение (II) удовлетворяется при
Q = Ро*.
В соответствии со сказанным точка Р эллипса С лежит или внутри эллипса
Eh(Pa) или на нем, если Р Ф Р0* или Р = Р0* соответственно. Однако при
фиксированном Р0 точка Р0* единственная (см. рис. 5). Следовательно,
эллипсы С и Eh(Pa) касаются друг друга в их общей точке Р0*. Так как это
справедливо для любого эллипса С из семейства Гл(Р0), то Eh{Pa) является
огибающей этого семейства.
15*
228
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Ниже нам потребуется рассмотреть точки Ро* = Ро* (С) и Ро" = Ро" (С),
лежащие на эллипсе С (см. рис. 5), причем F - пустой фокус (см. § 246).
Разумеется, Ро*ФРоФРо** также и тогда, когда Р0 лежит на одной прямой с
фокусами О, F и Ро* = Ро".
§ 252. Изложенные выше результаты становятся более наглядными, если
несколько иначе подойти к такому анализу. Пусть внутри окружности Dh дана
наряду с точкой Ро(Ф 0) также точка Р(=/=0). Пусть ВR обозначает
окружность, касающуюся окружности Dh и имеющую центр в В, причем В
совпадает с Р0 или Р, так что в силу (16) радиус Вп равен 2а - ВО. Так
как интегральные кривые, принадлежащие Ел, имеют согласно изложенному в §
250 общий фокус и общую направляющую окружность, то видно, что любая
интегральная кривая с постоянной энергией А(<0) проходит через обе точки
Ро, Р тогда и только тогда, когда ее пустой фокус является общей точкой
двух окружностей ВРа, ВР. Также видно, что ВРа и ВР или пересекаются в
двух различных точках, или касаются друг друга, или не имеют общих точек
в зависимости от того, где лежит точка Р: внутри эллипса, касающегося Dh
и
с фокусом Ро, на нем или вне его соответственно. Так как этот эллипс
является имено эллипсом Eh(Po), определенным в начале § 251, то отсюда
следует, что число интегральных кривых с постоянной энергии h, проходящих
через обе точки Ро, Р, равно 2, 1 или 0 в зависимости от того, где лежит
Р: внутри, на или вне Eh(Po) (рис. 6). (Отсюда, очевидно, вытекает, что
Eh (Ро) - огибающая семейства эллипсов Гл(Ро)см. § 251.)
Пусть точка Ро фиксирована, а Р лежит внутри или на Eh (Ро), и пусть
С = СР (Ро), С' - СР' (Ро) - две интегральные кривые с постоянной энергии
Ь, проходящие через обе точки Р, Ро, так что СР ф Ср. или
СР = Ср> в зависимости от того, лежит Р внутри или на Eh(P)o-
Пусть через F = FP(Po) и F' = FP>(Po) обозначаются в обеих случаях пустые
фокусы эллипсов С и С' соответственно, а О - общий фокус С и С'. Наконец,
пусть / = 1Р = 1Р (Ро) - общая хорда [Ро, Р] эллипсов С и С', так что I -
главная ось в предельном случае С = С'. Легко видеть, что если точка Р
находится в Eh(Po), т. е. если С - С', то оба Фокуса одного из двух
эллипсов, например С,
Рис. 6.
§§ 241-257. ОРБИТЫ 229
лежат по одну сторону от хорды I. В то же время фокусы О и F' эллипса С'
отделены друг от друга хордой I.
§ 253. Проведенный выше элементарный анализ позволяет рассмотреть
проблему минимума для вариационной задачи 61У = О, где
W= \ {2(U + h)(x'z + y'i)}'bdt,
и = т~\ г = (х*+ у2) ¦/",
(18)
причем h фиксировано и отрицательно, а символ б означает, что граничные
точки Р0, Р также фиксированы (см. §§ 95 и 172).
Прежде всего заметим, что подынтегральная функция в (18) совпадает с
функцией (11) § 179, составленной для данной задачи. Следовательно, в
соответствии с результатами, изложенными в § 172, множество решений с
постоянной энергии h совпадает с множеством регулярных (т. е. не ломаных)
экстремалей задачи 6И^ = 0. Наконец, из изложенного в § 177 видно, что
вопрос о том, достигается ли минимум W на отрезке интегральной кривой РоР
с постоянной энергии h, эквивалентен вопросу, касающемуся расположения
сопряженных точек. Результаты, изложенные в §§ 250-252, дают ответ на
этот вопрос в эллиптическом случае /г < 0. Действительно, сравнивая
изложенное в конце § 252 с тем фактом, что Eh{Po) является огибающей
интегральных кривых, проходящих через Р0, легко приходим*) к следующему
результату.
Абсолютный сильный минимум интеграла (18) достигается на отрезке
эллиптической траектории РоР, взятом на эллипсе С (см. обозначения в §
252), но не на эллипсе С'. Кроме того, если Р0 фиксирована, а Р -
переменная точка эллипса С, то дуга РоР, не содержащая точки Ро'*, будет
соответствовать сильному мипи-
*) Если использовать способ построения сопряженных точек в вариаци-онпом
исчислении.
Следует упомянуть, что проблема 6W = 0, где h < 0, была первым примером,
