Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
§§ 241-257. ОРБИТЫ
225
§ 249. Очевидно, что интеграл (14) выражается в элементарных функциях от
пределов интегрирования. Однако поскольку интеграл (14) является
алгебраической функцией с вещественными точками разветвления даже в
простейшем случае А = 0, то мы встречаемся с неоднозначностью. Кроме
того, этот интеграл был получен в предположении, что момент t достаточно
близок к f° (см. § 246), а сами формулы в § 116а, приводящие к (14),
опираются на локальную теорему существования решения дифференциальных
уравнений. Однако из соображений, опирающихся на аналитичность, можно
заключить, что если выбрать соответствующую ветвь элементарной
многозначной функции, определяемой согласно (14), то этот интеграл
справедлив при любом t-tfi.
Если исключить прямолинейный случай (с = 0, А Щ 0), который можно в
дальнейшем охватить путем очевидного перехода к пределу, то правильный
выбор соответствующей ветви при вычислении интеграла (14) приводит к
следующим формулам.
В параболическом случае имеем
где нижний или верхний знак (т. е. + или -) берется в зависимости от
того, содержит ли заштрихованный на рис. 4 сегмент внутри себя фокус О
или не содержит.
В гиперболическом случае (А > 0) определим сначала единственным образом
пару вещественных величин и0 и и по формулам
u = 2arcsh - (г° +г+р)А (0 <ufl<u).
Тогда (14) приведется к виду
t-t° - (2A)~3^{(shu - u)=F(shu°-и0)} (A > 0), (15г)
где правило выбора знака такое же, как в формуле (15j).
В эллиптическом случае (А < 0) определим сначала единственным образом
пару вещественных величин п°, и по формулам
t - t° =4{(г° + г+ р)3/з-Н(7ю + г- р)3А} (А = 0), (15j)
О
(IV)
(IV)
15 А. Уинтнер
226
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
предположим, что сегмент, заштрихованный на рис. 4, не содержит внутри
себя пустой фокус F. Тогда формула (14) запишется в виде
t - t°= (- 2A)-s/i{(u - sin ц) + (а° - sin u0)} (й<0), (15з)
где правило выбора знака такое же, как и в предыдущих случаях.
Вместе с тем, если заштрихованный на рис. 4 сегмент содержит внутри себя
пустой фокус F, то мы придем к формуле, получающейся из (153) после
замены и на
и* = 2л - и. (153*)
Разумеется, в формулах (15i) -(15з*) корень Л1/а (или Л±3/а) из А
считается положительным и моменты t° и t имеют тот же смысл, что и в §
246. Так как упомянутая в § 246 неопределенность возникает при с Ф 0 лишь
в эллиптическом случае, то вполне естественно, что формулы (15з')-
(153*), соответствующие h < 0, оказываются более сложными, чем (15j) или
(15г) - (152').
§ 250. Обозначим через 2/, семейство тех интегральных кривых на плоскости
(я, у), для которых постоянная энергии имеет некоторое фиксированное
значение h. Если h < 0, то из (4) видно, что 2/i состоит из тех эллипсов
на плоскости (г, у), которые имеют общий фокус в О и одну и ту же длину
большой оси 2а = = -Л-1. В то же время эксцентриситет (0 ^ е ^ 1) и
направление большой оси на плоскости (х, у) произвольны. Таким образом,
каждый эллипс, содержащийся в 2л, встречается в 2/, во всех возможных
положениях относительно О. Разумеется, окружность (е = 0) с диаметром -
h~l встречается лишь один раз и радиусы окружности радиуса -h~l и с
центром в О рассматриваются как эллипсы с эксцентриситетом е = 1 (с = 0;
см. § 243). Аналогичное описание семейства 2/, можно сделать на основании
(4) также и при h = 0 или h > 0.
Ниже будем предполагать, что h < 0. Тогда можно сказать, что семейство
2/, состоит из всех эллипсов (включая отрезки), для которых окружность с
центром в О и радиусом 2а является направляющей окружностью*). Эта
окружность, которую будем обозначать через Dh, представляет собой
согласно изложенному в § 243 кривую нулевой скорости, соответствующую
данному значению h. Ее уравнение имеет вид
х2 + у2 = 4а2, (16)
где а = (-2А)-1 > 0.
*) Вершины любого оллинса находятся на равном расстоянии от фокуса и
соответствующей ближайшей точки направляющей окружности. (Прим. перев.).
241-257. ОРБИТЫ
227
§ 251. Выберем Внутри Dh (но не в центре О) точку Р0, обозначим через
Гл(Р0) подмножество состоящее из тех интегральных кривых с постоянной
энергии /г, которые проходят через Ро, и пусть Eh (Ро) - эллипс,
касающийся окружности Dh и имеющий фокусы в О и Ро. Если через АВ = ВА
обозначить расстояние между двумя
точками А, В, то из (16) видно, что р"
большая ось эллипса Еи(Ри) равна
(2а - ОР0) + ОР0 + (2а - ОР0) =
= 4а - ОРо, (17)
и она больше 2а, так как 0 < ОРо <
< 2а. Следовательно, Dh не является Рис. 5.
направляющей Ей (Ро) и эллипс
Eh(Po) не является интегральной кривой с энергией h (это справедливо,
конечно, и в исключенном случае, когда Ро = 0, так как Еп (0) = Dh).
Оказывается, что эллипс Eh (Ро) представляет собой огибающую подмножества
Гд(Р0) *).
*) Действительно, положения точек Р эллипса С, принадлежащего
Гл(Ро), а также точек Q эллипса Eh(Pll) характеризуются
соотношениями
OP + PF = 2a, (I)
OQ + QPo = 4а - ОРо, (II)
где 2а п 4а - ОР - большие оси эллипсов С и Eh(Pa), а О, F и О, Р0 -
