Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
а'а' = lls'2. Однако в силу свойств эллипса и гиперболы произведение П не
обращается в нуль, так что а'а' пропорционально s'2, а следовательно, в
силу (9) пропорционально W. Так как а' также отлично от нуля, то отсюда
следует пропорциональность функций a'(t) и W'(t).
Таким образом, если площадь сектора а = a(t) с вершиной г. фокусе О
пропорциональна t при любых h Щ 0, то площадь сектора о = a(t) с вершиной
в фокусе F пропорциональна функции И7 = W(t) при h sS 0. Легко
установить, что такая интерпретация функции W = W (t) остается
справедливой и в предельном случае h - 0. В этом случае следует
определить a(t) как сектор,
ограниченный дугой аРпараболы, осью параболы и перпендикулярами,
опущенными из Р° и Р на ось параболы.
§ 246. Ниже мы будем рассматривать точку О как фокус орбиты также и в
прямолинейном случае с = 0. Другой фокус, существующий лишь для эллипса
или гиперболы (h 0), назовем (также в круговом случае О - F) "пустым"
фокусом. Будем считать, что в фокусе О помещено притягивающее тело.
Если через Р° - P°(t) и Р - Р (t) обозначены точки орбиты,
соответствующие фиксированному 1° и переменному значению t
соответственно, то эта же самая пара точек Р°, Р может соответствовать
вообще двум различным парам значений 1°" t. Пусть эта неопределенность
(которая возникает лишь при h < 0 или с - 0) исключена с помощью
требования, что t - первый момент, следующий непосредственно за t° и
соответствующий положению Р.
§ 247. Если ввести полярные координаты qi = г, q2 = ф и применить,
например, формулы (22) § 116а, то увидим, что промежуток времени t - t°,
разделяющий два положения Р°, Р, зависит при фиксированном h только от
радиус-векторов r° - r°(t), г - r(t) и угла ф - ф° между ними. Другими
словами, промежуток t - t° является при фиксированном h локально
однородной функцией величин г° - ОР°, г = ОР, а также длины р = аРхорды
дуги
§§ 241-257. ОРБИТЫ
223
Р°Р. Это справедливо, конечно, не только в ньютонианском случае U = г~К
Однако мы покажем, что именно в ньютонианском случае зависимость
промежутка времени при фиксированном h от сторон г°, г, р треугольника
РРЮ такова, что г° и г входят лишь в комбинации г** -j- г. Можно сказать
иначе, что t - t° является при фиксированном h локально однозначной
функцией периметра т° -\- г -\- р и хорды р. Этот результат, носящий
название теоремы Ламберта и имеющий фундаментальное значение в теории
определения орбит, ни в какой мере не очевиден, поскольку он не
справедлив для произвольной силовой функции, например для U (г) =
=¦ т~'к (h - const).
Доказательство теоремы Ламберта может быть вообще получено путем
применения теоремы Гаусса -
Бонне на поверхности вращения S/t
(см. § 244). Однако более короткое доказательство достигается
непосредственным путем при использовании "интеграла Бельтра-ми -
Гельберта" или "изоэнергетического действия ГГ" следующим образом.
§ 248. Так как Ри фиксировано, то можно рассматривать радиус-вектор г и
хорду р как биполярные координаты точки Р, а О и Р° как полюсы. Тогда из
(35) § 56 следует, что функция Лагранжа (1) § 241 выражается через
координаты <24 = У2 (г - р), Яг = = xk{r-\-p) следующим образом:
г 1 ^ ( - l)i(<l2 - qi) /2 , 1
- ни
Гамильтс
НИ
Соответствующая функция Гамильтона Н = H(pi, рг, 91, qi) имеет вид
2
. 2 qi
Pi
?i +92
Следовательно, если обозначить для сокращения записи
G(WXlX)=- 2{Х + Лх2)+{хг- (11)
224 ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
то уравнение в частных производных (15) § 114 запишется в виде
H(WQl,Wq"qi,q2)=h, (12)
или
G(Wgi,qi)=G(Wq" q2).
Так как (11) не изменяется, если заменить Wx на - Wx, то решение W =
W{qi,q2) уравнения (12) может быть получено в результате интегрирования в
пределах от х = Qi Д° X - 92 некоторой функции / == /(х) одной переменной
%. Эта функция определяется на основании выражения (И), из которого
видно, что можно положить
П%) = 1/2 (х + -2^Г + А-
Если ввести вместо х переменную г = х + У2Г0, то увидим, что функция
чА-т"!
W = 2'Ь J (r~l + h)'l>df (13)
71+^/2
(2q\ = г - р, 2qi = г -f p, ( )'/'S&0)
координат gi, q2 и постоянных интегрирования /г, г° удовлетворяет
уравнению (12). Следовательно, из формул (22) § 116а вытекает*), что
частная производная функции (13) по h равна t + const. Однако из (13)
также видно, что Wh = 0 тогда и только тогда, когда q\ = q2, т. е.
если (рис. 4) г = г°. Поскольку зна-
чения гиг0 соответствуют моментам t и ?°, то на основании (13) получим,
что
1/*(г°-НЧ-р)
t - *0 = Wh = 2-'А 5 (г-1+ *)-'*#, ( )-'/.-* 0. (14)
'/"(ГЧт-р)
Интеграл в правой части этой формулы зависит при фиксированном h лишь от
периметра r° -f- г + р и хорды р, что и доказывает теорему Ламберта.
*) В § 116 предполагается, что удовлетворяется условие (18), сводящееся в
данном случае к следующему
Wqii,Wv,Tc- ф 0.
Однако если исходить из формулы (13), то легко проверить, что это условие
удовлетворяется для всех интегральных кривых, отличных от прямой линии
или окружности.
