Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 69

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 202 >> Следующая

справедлива и в этом вырожденном случае.
§ 199. Результат § 194 заключается в том, что систему с функцией Лагранжа
вида (li) можно расщепить на п систем, каждая из которых имеет одну
степень свободы. То же самое положение возникает и тогда, когда п - 1 из
п координат являются циклическими (см. §§ 182-184). Заметим, однако, что
ни одно из этих свойств функции Лагранжа не инвариантно по отношению
§§ 194-205. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
177
к преобразованиям позиционного или фазового пространства. Например, если
при п - 2 заменить прямоугольные координаты х, у полярными г, ф, то
вполне возможно, что ф окажется циклической координатой, хотя х и у
такими не являются (см. § 211). Поэтому, хотя из изложенного в § 117
следует, что любая динамическая система может быть приведена с помощью
соответствующего канонического преобразования к нормальной форме
(12) - (13) § 113, когда все координаты становятся циклическими, главная
проблема состоит, как было замечено в конце § ИЗ, именно в нахождении
такого пребразования.
По существу, положение еще менее благоприятное. Дело в том, что
доказательство существования канонического преобразования, приводящего
систему к нормальной форме (или, что то же самое, доказательство
существования полного решения W уравнения (15) § 114), основывается лишь
на общих теоремах, относящихся к существованию неявных функций и решений
обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. на теоремах, имеющих чисто
локальный характер. Вместе с тем математические вопросы динамики имеют не
такой тривиальный локальный характер, но представляют собой проблемы
исследования в большом, связанного с нелокальной топологией
рассматриваемы:; многообразий. Для иллюстрации этого создавшегося
положении можно привести краткую справку об историческом развитии понятия
"неразрешимой" динамической проблемы.
§ 200. Когда Иоганн и Яков Бернулли, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли,
Ламберт, Эйлер и, наконец, Лагранж применили принципы Ньютона к различным
задачам небесной и земной механики, то они столкнулись со следующим
обстоятельством. С одной стороны, принималось почти за аксиому, что
динамическая проблема "разрешима" в том случае, если она приводится к
квадратурам (и к последующим операциям дифференцирования и исключения). С
другой стороны, наиболее актуальные проблемы почти никогда к квадратурам
не сводились. Гениальные усилия Клеро привели в конце концов к
систематической теории движения Луны и к теории возмущений больших
планет, но не к желаемому "решению с помощью квадратур".
Поэтому вполне объяснимо мнение Ламберта, который считал, что все
проблемы небесной механики можно рассматривать как "разрешимые",
поскольку с помощью численного интегрирования уравнений движения можно
предвычислять положения небесных тел с большой степенью точности. С
самого начала астрономы и направили свои усилия именно на развитие
практических методов представления движения небесных тел. В течение
последующего столетия два из этих численных методов астроно-
12 А. Уинтнер
178
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
мического происхождения, а именно "полигональный" метод конечных
разностей и метод последовательных приближений превратились в руках Коши
в средство доказательства теорем существования или сходимости, которые в
свою очередь явились строгим математическим обоснованием приближенных
методов астрономов. (С аналогичным положением мы встречаемся в случае
метода неопределенных коэффициентов Ньютона, законное обоснование
которого следует из принципа мажорант Коши.)
С одной стороны, эти теоремы существования или сходимости справедливы в
общих случаях, не имеющих ничего общего с динамическими проблемами. С
другой же стороны, простейшие примеры показывают, что от всех этих
методов требуется справедливость лишь в ограниченном ^-промежутке.
Поэтому все, что можно достичь в этом направлении, сводится к
утверждениям локальной теоремы существования обыкновенных
дифференциальных уравнений (см. § 79).
§ 201. С этой точки зрения динамическую проблему, о которой известно лишь
то, что она сводится к квадратурам, но ничего больше, едва ли можно
рассматривать как "разрешимую" в большей степени, чем проблему, не
приводящуюся к квадратурам. Действительно, благодаря квадратурам вводятся
функции, которые вообще не являются "элементарными", так что при
фактических вычислениях или даже при качественном анализе приходится
обращаться к механическим квадратурам (или, что то же самое, к построению
приближенных решений, упоминавшихся в § 200). Кроме того, обычно
стараются найти не функции, представимые квадратурами, а скорее функции,
получаемые в результате обращения системы квадратур (см. § 186). Проблема
же обращения квадратур требует вообще гораздо более сложного анализа, чем
теорема существования обыкновенных дифференциальных уравнений (см. §§
195-198).
Из сказанного вытекает, что фактически понятие "интегрируемой" системы
остается совсем неопределенным. Было бы неестественным связывать понятие
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed