Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 68

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 202 >> Следующая

Qi(t)~ Qi (pi?,..., Pn?), (7)
где щ = 2я/т{ (см. (44)) и - оо < f < + оо.
§ 197. Если га положительных чисел pi,. ., рп связаны между собой
соотношением вида A'ipi + ... + Л'прп = 0, где Ni - целые числа такие,
что N42 + ... + 'Nnz Ф 0, то можно (хотя это и не обязательно) заменить
размерность га 0-тора меньшим числом. Пусть гао - наименьшее допустимое
число измерений. Тогда между га положительными числами pi ,..., рп
существует точно га- гао линейно независимых соотношений 5WiPi = 0 (2/Vi2
ф 0), так что гао = га в случае линейной независимости "частот" pi и гао
= 1 в тривиальном случае, когда все частные периоды Ti = = 2я/р,- взаимно
соизмеримы.
Таким образом, если л0 = 1, то интегральная кривая qi = = 7i(0> ? = 1. ¦
• ¦ | га, является замкнутой в га-мерном позиционном пространстве. Если
же га0 = га, то из (4i) - (44) видно, что точки (qi) в интегральной
кривой <7i = <7i(?)" ?= га,
- оо ¦< t <С. +°°, образуют в силу так называемой теоремы Кроне-кера об
аппроксимации плотное подмножество в га-мерном параллелепипеде щ ^ qi ^
р,-, i = l,..., га, позиционного прост-
§§ 194-205. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
175
ранства. Эти же соображения приводят к выводу, что замыкание интегральной
кривой представляет собой "о-мерпую область*) не только в предельных
случаях "о = 1, по = и, но и при любом по-
§ 198. Анализ задачи, рассмотренной в § 196, основывается на двух
теоремах, касающихся почти периодических функций. Первая - это теорема о
единственности (в среднем), а вторая может быть сформулирована следующим
образом.
Пусть v - v{t), - оо <?<-(- оо, есть вещественная почти
dv
периодическая функция, производная которой у = ~j= удовлетворяет при - оо
< t < + оо неравенству
-1 < -0 < v(t),
где 0 = const. Пусть w = w(t) - функция,
- оо < t < + оо соотношением
t==t + w(t), (9)
где t = t -f- v(t). Тогда топологическое **) отображение t = t + + v{t)
оси_t на ось t таково, что почти периодическая функция t-t = v(t)
переменной t является также почти периодической функцией t - is=-w(t)
переменной t. При этом показатели Фурье для v(t) и w(t) определяют один и
тот же модуль.
С целью применения этих результатов заметим сначала, что в силу (1г)
непрерывная функция
G(9i,...,9n)=* 2
имеет в га-мерной замкнутой ограниченной области щ ^ qi ^ Pi
положительный минимум. Так как а, ^ Qi(t) ^ р<, то наименьшая нижняя
граница функции I>di(qi(t)) при -оо <; t < + 00 (обозначим ее через fin
inf Sd,) положительна. Поскольку среднее значение M{2dJ не может быть
меньше чем fin inf Sdi и равно согласно (53)Sxt, то, следовательно, Z%i >
0, и можно положить Sxt = 1. Действительно, такая нормализация связана
лишь
*) Этот факт вытекает только из теоремы Кронекера об аппроксимации.
Однако гармонический анализ функций q\(t), т. е. построение функций QI
(01, ..., 0П) на 0-торе требует привлечения результатов Вейля, уточняющих
теорему Кронекера. См. примечание к § 127а.
**) Если заменить (8) более слабым условием -1 < v(t), то функция t - t +
v(t) переменной t монотонно возрастает вместе с t от -оо до +°°, так как
почти периодическая функция v(t) ограничена и t = 1 + v > > 1 - 1 =0.
Однако условия -1 < v{t), - 00 < t < 00, и почти периодичность функции
v(t) не влекут за собой почти периодичность функции w(t), определяемой
единственным образом согласно (9).
(8)
определяемая при
176
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
с изменением единицы длины на оси t, а введение в соотношение (2i),
определяющее г, положительного постоянного множителя не внесет никаких
изменений в предшествующие или последующие рассуждения. Таким образом,
О < fininf ^di(qi(t)) ^ М { 2,^ }= (Ю)
Положим
"(*)=
Тогда из (2i), (22) и (61) получим, что поскольку = 1, то
t=t-\-v(t), (lit)
"(t)=-l+2;*(9i(*))- (Иг)
Кроме того, из (62) видно, что функция v(t) =1>Vi(t) является
почти периодической с частотами, которые содержатся в модуле, порождаемом
п числами дг- = 2л / Ti, i - (возможно, ли-
нейно зависимыми).
Возможны два случая (в зависимости от знака в (10): < или = ). В первом
случае из (10) и (Иг) вытекает, что условие (8) удовлетворяется, если
положить
0=1 - fin inf 2
Следовательно, к (lli) применима теорема, сформулированная в начале этого
параграфа, и таким образом t = t + w (t), ще w (t) - почти периодическая
функция с частотами, содержащимися в модуле п чисел щ = 2л / Ti, i = 1,
..., п. Тогда, если учесть формулы (4г) - (4з) для t = t + w(t), видно,
что (7) вытекает из (4i).
Во втором случае мы имеем в (10) знак =, и это равенство означает, что
наименьшая нижняя граница суммы Xdk(qi(t)) совпадает со средним значением
M{2d,} = 1. Следовательно, почти периодическая функция Ей;(<^(7))
вырождается в константу (равную 1). Из (2i) - (22) поэтому следует, что t
= t (с точностью до аддитивной постоянной), а формулы (4i) - (44)
показывают, что каждая из функций <?,, i = 1, .. ., п, является чисто
периодической по i с периодом Ti = 2л/р,-. Очевидно, что формула (7)
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed