Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
координаты qi, i = 1, 2, ..., п, в виде
gih - &ihgi(qi)G, fi =
G
где
1фк:
V. 1, i - к.
Так как
2 /<(?<) dQi
есть полный дифференциал, то из § 156 видно, что без потери общности
можно положить /i(<7t) = 0. Тогда формулы (1) - (2i) § 155 будут иметь
вид
? = ^2^z+G-*2ei, (ii)
G='Z'di(q)> 0, (12)
где
gi(qi) > 0. (1з)
Так как гамильтонова функция Н, соответствующая лагранжевой функции (li),
равна (см. § 158)
Н = - G_1 ? gi pi - G~* 2 е
и так как функция (12) удовлетворяет требованиям § 180, то гамильтонова
функция (15) § 180 может быть представлена в виде
Н= 2 Я*
где
Hi = -е? р) - Ub Ui = Ui{qi- A) = e, + hd,.
Li
Так как dt, e*, gi зависят только от qi, то систему
pi = qi = Яр. (li)
172
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
с п степенями свободы можно заменить п системами, каждая из которых имеет
одну степень свободы и получается из (I4) после замены в правых частях Н
на Ну, i = 1,... ,п. (Точками обозначаются, разумеется, производные по
переменной t, определяемой согласно (14) § 180). Каждая такая система
имеет интеграл энергии Hi ~ hi, причем постоянные интегрирования hi,...,
hn должны быть таковы, что hy + ... + hn ==_0. Обращение этой суммы в
нуль вытекает из того факта, что Н - Н\ + ... + Нп, а Н - 0 в силу
изложенного в конце § 180.
Так как функция Лагранжа, соответствующая функции Гамильтона
1 -1 г
Hi = Hi (ри qu h) = - g{ р{ - Ui (qi, h)
равна
Li = L{(qi, quh) = -gy(gj)g? + IJ{(quh),
то к каждому уравнению [Ly\4i =0, i = i ,... ,n, можно применить
результаты, изложенные в §§ 185-186. В частности, полз чим qi = qi(t)
после обращения интеграла, аналогичного (3) § 187, где надо положить F =
2(?7,- + hi)/gi. Пусть все функций qi = qi (t), i = 1,..., rat отвечающие
постоянным энергии hi,... ..., hn соответственно, найдены, причем hy +
... + hn = 0. Тогда из (16) § 180 видно, что связь между t и t
определяется формулами (см. (12))
t = t(t)= 2*1(0. (20
si(t)=ldx(qi(t))dt (см. (12)). (22)
§ 195. Предположим, в частности, что при некоторых фиксированных
значениях 1 + п постоянных интегрирования h, hi,...
..., hn, причем hi + ... + hn = 0, условия § 187 выполняются для: каждого
I. (Разумеется, t надо заменить в § 187 на t.) Тогда решение qi = qi(t)
зфавнения \_Li\qi = 0 имеет период ту - = тi(h, hi) по отношению к t и:
осциллирует между ay = ay(h, hy) и р,- = Рi(h, hy). Формулы (5), (6) §
188 остаются справедливыми, если заменить в них t на ty и t на t, а также
G(q) на Gi(qy), i =• = 1, ..., п. Так мы встретимся с п независимыми
переменными tu играющими роль времени и такими, что при -00 < t < 00
0 < const < ti < const, (3)
где t - та же переменная, что и в § 194. Наконец, из (7) - (92)
§§ 194-205. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
173
§ 188 имеем
?i = - (Pi + О!) - - (Pi - Ol) COS tU
(4i)
t = - +
Vi
ri(U + 2n) = ri(ti) ,
(42)
(43) (4i)
И '
В соответствии c_ (3) каждая из n переменных ti = U{t) изменяется вместе
с t от - оо до + оо монотонно. Из формул же (4i) - (44)_ следует, что
переменные qu рассматриваемые как функции t, имеют период г".
Так как d{ = di(qi), то функция di(<Zi(t)) от t также имеет период T; по
f. Пусть через х* обозначается постоянный член в ряде Фурье для этой
периодической функции, так что
где M{f} обозначает предел среднего значения функции /(f)
при г->-оо. Если /(t) -периодическая функция с периодом Т, то
Следовательно^ (2i) показывает, что t = t(t) равно сумме "векового^ члена
xl где X = ^xi = const и "осциллирующей" части 2vi(t), где Vi(t) имеет
период
§ 196. Периоды Ti будут вообще несоизмеримыми друг с другом, поскольку
они являются непрерывными функциями Ti = Т{ (к, Ы)
Ci{t + Xi)= c(t),
Xi = M{di},
(5i) (5") (5з)
о
Из (5i) - (53) и (22) видно, что
si(?)=XtT + w,(f), Vi(t + Tl) = Vi(t).
(60
(62)
174
ГЛАВА ГП. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
от h, hi. Вместе с тем желательно получить решение д, == qi(t), г =
1,..., га, исходных га лагранжевых уравнений [L]qi = 0, где L имеет вид
(li), выраженное явным образом через время
t=ht + ^Vi(t).
Для этого требуется исключить га + 1 переменных ?i,..., tn, t из формул
(4j), (4г), (2i). При таком исключении мы придем к периодическим функциям
qi - i = 1...га, лишь в очень
частном случае, когда все ti взаимно соизмеримы друг с другом. Если же
хотя бы две величины из ti,. .., т" несоизмеримы друг с другом, то мы
придем при неограниченных значениях времени к задаче о диофантовых
приближениях.
Тем не менее можно ожидать, что функции <7i(f) разлагаются при любых Ti в
обобщенные ряды Фурье. Для того чтобы получить такие ряды, исключение,
(нелокальное) га + 1 параметров Ц, t должно быть выполнено с
использованием теории почти периодических функций ("почти периодичность"
понимается в смысле Бора). Результат (см. § 198) таков, что существует га
непрерывных функций Qi = (?,(0i,..., 0П) независимых переменных 0i ,...
,0" таких, что любая функция Qi имеет по отношению к 0i период 2я (т. е.
каждая Qi - непрерывная функция точки на га-мерном торе) и
