Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения х" + ах = 0 является гиперболической функцией t, если а = -
Uqq(°q) < 0, и линейной, если а = 0. Если же Uqq(°q) < 0, то x(t)
описывает гармоническое колебание с периодом 2я[-Uqq(°q)]~'!2. Все
сказанное согласуется с последним замечанием в § 189 и объясняет, почему
производная Fqq (°Я, °h) оказывается отрицательной (см. § 189).
§ 191. Условия, указанные в § 187, характеризуют такие решения q = q(t)
уравнения [Lj\q = 0. которые будут периодическими в том смысле, что
9(* + т) = 9(0, (120
q'(t + x) =q'(t), (12*)
где т = т(h) -некоторая (но не любая) положительная постоянная, причем
(12г) есть следствие (12±). Но поскольку (12i) не вытекает вообще из
(12г), то, возникает вопрос, справедливо ли
*) Это предположение не приводит к потере общности анализа при
фиксированном значении постоянной энергии h, поскольку можно положить
функцию G(x) § 180 равной заданной функции g(q) (положительной) и
применить преобразование, указанное в § 180, к гамильтоновой функции П =
-*/2g~lp2 - U, соответствующей согласно § 158 лагранжевой функции
? = -2 M*+'U.
§§ 185-1ВЗ. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 169
называть решение q(t) периодическим, если выполняется лишь условие (12г),
т. е. если
?(* + т)=?(0+а, (13)
где о не зависит от i и может зависеть от постоянных интегрирования (или,
что то же самое, от постоянной энергии h). Например, если q - угловая
переменная, приводимая к mod а (например, о = 2л или а = 1), то
целесообразно определять периодичность не по (12i), а по (13), или,
точнее говоря, по соотношению
q (t + т) = q (?) (mod о).
Если коэффициент g(q) и силовая функция U(q) в выражении лагранжевой
функции L = ilzgq'2 + U( q) не изменяются при замене <7 на q + о, то
можно рассматривать q как угловую переменную, приводимую к mod а. Именно
таковы те функции Лагранжа L, для которых каждому решению q = q(t)
уравнения [L\q = 0 соответствует решение q = q(t) + о.
§ 192. Если функции g(t), U{q) имеют по отношению к q перь од от, то
такова же и функция (1г) при произвольном h. Предположим, что функция
(1г) при фиксированном h положительна на всей оси q. Условия
периодичности, рассмотренные в § 187, не выполняются, а функция (3)
остается неопределенной, так как а и р не существуют. Однако если
определить т по формуле
о
тн=т(А)= $ [F(q,h)Y-'!>dq, (14)
о
то, применяя рассуждения, аналогичные использованным в § 187 и основанным
на единственности решения, придем к выводу, что решение с постоянной
энергии h является периодическим в смысле условия (13).
§ 193. Предположим, в частности, что в выражении L=^g(q)q'*+U(q)
имеем g(q) = 1, U(q) = cos q. Тогда
[L] q = q" + sin q = 0
есть уравнение движения маятника в галилеевом поле тяжести, причем g -
угловое расстояние от вертикали. Так как а = 2л, то (1г) приводится к F =
2(cos q + h) *). Если h > 1, то условие F(q, h) > 0, -оо < <7 < оо, § 192
выполняется.
*) Таким образом, интеграл (2) является эллиптическим интегралом первого
рода, а (3) - полным эллиптическим интегралом.
170
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В силу же (14) удовлетворяется условие (13), хотя функция q = q(t), если
исходить из формулы (2), монотонно возрастает или убывает и стремится к
±оо при t-*~ ±оо или t-*~:F°° (вращающийся маятник). Если А = 1, то F =
4cos2 -j и условие,
указанное в § 192, не выполняется. В то же время qi = -л, 9п = л суть
двойные корни уравнения F = 0. Последнее замечание в § 186 показывает,
что q(t) стремится при ?-> ±оо к паре равновесных решений q = ± л
(тождественных по mod 2л). Это - случай асимптотического движения к
неустойчивому вертикальному положению маятника.
Решений с постоянной энергии А < -1 не существует, так как в этом случае
F < 0 при любом q, что противоречит (li). Если
А = -1, то 7p = 4sin2-|- и мы приходим к равновесному решению q(t) = 0,
соответствующему устойчивому вертикальному положению. Если -1 < А < 1, то
функция F = 2 (cos q + А) не удовлетворяет условию § 192, но
удовлетворяет условиям § 187 (колеблющийся маятник, для которого а ^ q ^
Р ( = -а < л)).
Если А-"-1 + 0, то р = -а->- +0, и период (3) стремится согласно (1) к
2л. Этот факт согласуется с последним замечанием в § 189, поскольку
уравнение Якоби, соответствующее равновесному решению q(t) =0, имеет вид
Это - уравнение маятника с инфинитезимальной амплитудой колебаний.
Характеристические показатели равны dt i (они, следовательно, устойчивого
типа, см. § 89). В то же время эти показатели равны ±1 (неустойчивого
типа) в случае уравнения Якоби
соответствующего равновесному решению q(t) = ±л. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
§ 194. Мы будем рассматривать здесь класс задач с п степенями свободы,
приводящихся к п задачам, каждая из которых имеет одну степень свободы.
Речь идет о так называемых системах Лиувилля.
§§ 194-205. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ 171
Такие динамические задачи характеризуются тем своёством, что lhn{n-{-1)
+n + 1 функций gih, ghi, U в (1) § 155 могут быть выражены через п
совокупностей четырех функций gi{qt), fi(Qi), Ci(Qi), di(Qi) одной только
