Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 65

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 202 >> Следующая

начальной задачи следует, что не только q(t) = q (-t), но и q(t + т)
=q[t).
Таким образом, q(t) есть четная периодическая функция с наименьшим
периодом, равным (3), а а и Р - ее минимум и максимум соответственно.
§ 188. Для значений t, при которых не имеют места равенства
q(t) = а или q(t) = р (т. е. для значений, отличных от у Ат,
к = 0, ±1, ±2, ...), выбираем в (2) верхний или нижний знак, если q'(t) >
0 (т. е. если Ат < t < (А + */2)т) или если q'(t) < 0 (т. е. если (А +
7г) т < t < (А -)- 1)т) соответственно.
Однако вместо выполнения обращения интеграла (2) обычно предпочитают
свести эту задачу к тривиальному периодическому
dtq _
обращению для уравнения линейного осциллятора - \- q = 0,
dt
где t - новая переменная, которая выбирается так, чтобы уни-формизировать
многозначную связь между временем t и однозначной периодической функцией
q = q(t).
С этой целью фиксируем постоянную энергии h и положим
где а < 5 < р. В предположениях, указанных в начале § 187, пределы G(a +
0), G(|3 - 0), обозначаемые через G(a), G(Р), существуют и они таковы,
что
0 < const ^ G(q) ^ Const < + оо (5)
*) Интеграл (3) имеет конечное положительное значение, так как функция
F(q, К) положительна при а < q < Р и имеет при q = а и q = Р нули первого
порядка.
166
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
при а ^ q ^ р. Так как а ^ q(t) ^ р при -оо <; t <; +00, то отсюда
следует, что можно отождествить функцию (4) с функцией G,
использовавшейся в § 180, для введения нового времени (? вместо t).
Выбирая без потери общности начало отсчета f, так что f_(0) = 0, введем
вдоль данного решения q = q(t) переменную t вместо t согласно (14) и (16)
§ 180. Мы получим, что в соответствии с (16)
*
tst(t)= 5с(д(Г))"й\ (6)
о
Обозначим, как и выше, производные по t и t штрихом и точкой
соответственно. Тогда i и t' = t~l всегда заключены в силу (6) и (5)
между фиксированными положительными границами, так что t изменяется
вместе с t от - оо до + оо, монотонно возрастая. Переменная t является
такой, которая позволяет униформи-зировать соотношение (вещественное) (2)
между да t. Уравнение для 5(f) после введения этой переменной сводится к
уравнению линейного осциллятора.
Действительно, из (4) и (6) видно, что (li) можно переписать в виде
4* = (Р -я) (я -(" = §)•
Решение этого уравнения при начальном условии имеет вид
1 1
Ч = 2 ^ + _ 2 ^ ~~ C°S 1'
Следовательно, G(q(t)) есть четная периодическая функция. Разлагая ее в
ряд Фурье, имеем
ОО
G(<l(i))= S v"cosnf, (81)
Tl=-ОО
где
1 Я
v" = - \ Gcosnf df = v_", (82)
яо
а подставляя этот ряд в (6), получим, что
00
f = Vof + 2, sin С (9i)
П"1
5(0) = а
(7)
§§ 185-193. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
167
где
*"*=-. (9г)
п
Так как t изменяется от - -оо до + °° монотонно, то формулы (7) и (9i) и
осуществляют ункформизацию соотношения (2) между q и f, причем t является
униформизирующим параметром.
Так как q - четная периодическая функция t с периодом (3), то справедливо
также следующее разложение Фурье:
ОО
q - S' Р" cos( ") • (10')
71=-ОО
где
т ^
Рп = тг~1 \ q cos ( - )dt --- р_", (10г)
о Vv° '
т = 2jxv0, (Юз)
причем (Юз) вытекает из (7) и (9).
§ 189. Предположим, что постоянная энергии h изменяется около
фиксированного значения °h, причем при h = °h решения аналогичны тем,
которые рассматривались в §§ 187-188, а два простых корня
q = a s a(h) = min q(t, h), q== 0 = p (h) = max q(t. h)
уравнения F(q,h) = 0, где F > 0 при a < q < P, совпадают при h-+°h с
двойным корнем °q уравнения F(°q,°h) = 0. Таким образом, при h ф °h
существует определенный период т = т(й). вычисляемый по формуле (3).
Однако при h = °h функция т(°Л) не существует, поскольку из условия
Fg(°q, °h) = 0 вытекает, что
решение q(t,h) при А = °А представляет собой равновесное ре-
шение q(t, °h) = °q. Тем не менее нетрудно обнаружить, что т (h)
стремится при h ->¦ °h к конечному положительному пределу:
т(А)-*-2Я/У{-^те((r)д,°А)}/ (И)
Действительно, так как q = °q - двухкратный корень, то Fg(°q,°h) =0
,Fgg(°q, °h) Ф 0. Из формулы Тейлора следует тогда, что отношение
F{qxh)____
(Р-9) (9 - а) *
168
ГЛАВА Ш. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
где F - положительная функция, а < q < р, стремится при т. е. при (а -Р)-
>0, к положительной постоянной
-ЧМдЛ).
Следовательно, Fqq(°q, °h) < 0 и (11) вытекают из (3).
Если g(q) = 1, то в соответствии с (I2) предел (11) равен
2 л li=UM.
§ 190. Снимем ограничения, согласно которым рассматривались в §§ 187-188
только периодические решения. Предположим *), что g(q) = 1, т. е. что
L(q',Q) = ~Q'2+ и(Я) (см. § 185).
С*
Тогда
[L]q = q"-Uq(q)
и согласно изложенному в § 101 уравнение Якоби, определяющее смещение и =
x(t) для данного решения q = q{t) уравнения [Цч = 0 имеет вид к" + a(t)y.
= 0, где a(t) = -Uqq(q(t)). Если q =q{t)-периодическое решение, то
коэффициент a(t) также периодический. Если q (t) = °q - равновесное
решение,
то -Uqq(°q) = const. В этом случае характеристические показа-
тели (см. § 89) для уравнения Якоби равны ±yuqq(°q). Общее решение
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed