Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
или имеет при q = q точку возврата, если Fq(q, h) Ф 0 (корень q простой).
В первом случае мы имеем также Uq(q) = 0 в силу (1г). О появлении точки
возврата во втором случае заключаем на основании изложенного в § 169.
Поэтому в промежутках, не содержащих точек возврата, имеем q'(t) =/= 0 и
в силу непрерывности q'(t) > 0 или q'(t) < 0, так что функция q(t)
монотонно убывает или монотонно возрастает.
§ 186. Пусть q = 9i(0 и q - 911(0 -два решения с одной и той же энергией
h, и пусть существуют два значения t - ti, t = in и точка q* такие, что
qi(ti) = 9п(?ц) - q*, причем U(q') ф 0. Заметим, что если функция 9(0
является решением с энергией h, то функция q(t + 0) при любой постоянной
0 также является решением с той же энергией. Поэтому, учитывая последнее
замечание в § 185 и исходя из единственности решения обыкновенных
дифференциальных уравнений, придем к выводу, что решения 9 = 9i(0 и 9 =
9п(0 эквивалентны друг другу. Другими словами, 9i(0 = 9п(^ + 6) при
выбранной соответствующим образом постоянной 0. (Это свойство является
характерным для случая позиционного пространства с числом измерений п =
1.)
В соответствии со сказанным уравнение [L\q = 0 может быть решено при
заданном значении h следующим образом. Исключим, фиксируя Л, те точки оси
9, в которых функция (1г) отрицательна (см. (li)), и, оставляя в стороне
тривиальный случай F(q0,h) ~ 0, Fg(q0, h) = 0 равновесного решения q(t) =
qo, выделим на оси 9 интервалы (обязательно открытые, если они вообще
имеются), где функция F(q,h) положительна. Тогда, если / = 1(h)-один из
таких интервалов, a q*-произвольная его точка, то локальное обращение
интеграла
t-t'=]±\F{q,h)\~'l>dq, (2)
9*
где ?*-произвольная постоянная, дает все решения 9 = 9(0 уравнения [L]q =
0, принадлежащие при каком-либо t интервалу /. Это видно из (li). В то же
время из § 185 следует, что и при всех t значения 9 (t) принадлежат
интервалу I.
11*
164
ГЛАВА 111. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Разумеется, один или оба конца интервала I = 1(h) могут лежать в
бесконечности и функция F(q, h) должна обращаться в нуль на конечных
концах интервала I (если они имеются).
Если q - какой-либо из двух концов I (h), то возможны два случая: a)
F(q,h) = 0, Fq(q, К) ф 0 и б) F(q, К) = 0, Fq(q,h) =0 (q ф ±°°). В первом
случае (но не во втором) интегральная кривая q = q(t), совпадающая в
интервале / с осью q, достигает конца <7 этого интервала при конечном t =
t. К такому выводу легко прийти, если устремить верхний предел q
интеграла (2) к q и учесть, что хотя подынтегральная функция обращается
при q - q в бесконечность, но этот интеграл сходится в первом и
расходится во втором случае. Во втором случае (но не в первом) корень q =
q уравнения F(q, h) = 0 соответствует согласно изложенному в § 169 точке
равновесия. Наконец, из (2) видно*), что во втором случае q(t)-*q при t-
>-+ оо или при ?->-- оо, причем q'(t) не обращается в нуль при достаточно
больших t > 0 или t < 0. Тогда решение q = q(t) асимптотически
приближается при ?-"- + оо или при t -у - оо к равновесному решению,
представляемому точкой q.
§ 187. Из сказанного выше следует, что для решения q = q(t), отличного от
равновесного и не приближающегося к пему асимптотически, интервал I(qi(h)
< q < qn(h)) конечен, причем концы этого интервала - простые корни
уравнения F(q, h) - 0, а функция F положительна внутри I.
Рассматривая такие решения, положим а = a(h) = qi(h), Р = Р(А) = qn(h).
Тогда из изложенного в § 185 следует, что а - минимум и р - максимум
функции q(t) при - оо < t < +оо и что q (t) = 0 только для таких t, при
которых q(t) = а или q(t) = р. Не теряя общности, выберем начало отсчета
на оси <7 так, что <7(0) = а. Тогда в силу обратимости системы (см. §
184) функция д(-t) также является решением и, следовательно,
*) Заметим, однако, что этот результат не имеет места, если q = +°° или q
= -оо. Если, например, L(q\ q) = 'h{q'z + ql) и A = 0, то функция (12)
запишется й виде F(q, h) - ql, так что в интервале I(qi < q < дц) имеем
qi - 0, qn = +оо.
Вместе с тем уравнение q'z = ql имеет решение q(t) - (t° - t)~l, где t° -
произвольная постоянная. Следовательно, 9(0 9н = + °° при t-*-1° - 0, а
не при t ->-оо, как можно было бы ожидать.
Для того чтобы исключить такие случаи, следует относительно (2)
предположить, что при данном А ±оо
J \F{q, A) I _,/l <*9 = ± ОО.
Гак это условие выполняется, если при 9-"-±оо имеем 0 < F(q, А) < d-q2,
где d - постоянная.
SS 185-193. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 165
q{t) = -t). Действительно, решение определяется единствен-
ным образом начальными значениями координаты и скорости, а эти значения
для q(t) и g(- t) одни и те же, поскольку q' (0) = 0. Кроме того, полагая
*)
Р
т = т(А) = 2 ^ [F{q,h)}~'hdq, (3)
а
где а = а (А) и Р = Р(А), можем на основании (2) заключить, что время
перехода от значения q = а до значения q = Р (или от
q = р до q = а) равно у т. Так как q = q[t + const) есть та же
интегральная кривая, что и q = q(t), то опять из единственности решения
