Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
операцию исключения координаты, которая не входит явно в гамильтонову
функцию. Следовательно, можно ожидать, что если, например, функция (3i)
зависит лишь от производной qn' переменной qn, но не от самой переменной
<7п, то консервативную динамическую систему [?]<? = = 0 сп степенями
свободы можно заменить консервативной динамической системой [7/]," = 0 с
п - 1 степенями свободы, причем q = (qi), i = 1,.. .,п, и q" = (qj), j =
1,..., n - 1.
pi --- Hq.,
Pi --------------- (Pi, . . . , Pn-U <7lT . .
. , ?П-1| С A) ,
qj= ^Pj (Pu • ¦ ¦ i Pn-it Qu • • ¦ i q-n-ii A)
(18)
(/= 1........n),
160
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Конечно, функция L* должна содержать одну постоянную интегрирования
(соответствующую фиксированному значению А), и если решение g* = g* (t)
системы [L*]q* = 0 известно, то определение исключенной координаты qn =
q-n. (t) требует, как можно ожидать, одной квадратуры (соответствующей
(14) и вырождающейся в случае предыдущего параграфа в равенство t - qn +
+ const).
Все это можно легко осуществить следующим образом. Назовем координату
"циклической", если в L входит лишь производная этой координаты по
времени. Из изложенного в § 15 видно, что координата является циклической
тогда и только тогда, когда в Я входит ее канонически сопряженный
импульс, но не сама координата. Если записать теперь H(p,q,t) в виде
Н(рп, р*, д*,2), где р*, д* суть (га - 1)-векторы р" (pi,... ,Pn-i), q'
(gi, • ¦ ¦, ?n-i), то из уравнений
p'=-Hq q' = Hp видно, что pn = с = const. Координату же qn = qn(t)
получим из уравнения
q'n = HPn (с,р* (*),?*(*))
с помощью одной квадратуры, если известно решение р* = p*{t), g* = g* (t)
системы
p*' = _g" = Яр*.,
где
Я* s Я* (с,р\ q\ t) = [Я(рп, р*, д*. 0]р" =с
- гамильтонова функция era - 1 степенями свободы. Наконец, функцию
Лагранжа L", ассоциированную с Я*, получим по формулам § 15, если
известно, что соответствующий гессиан не обращается в нуль.
§ 183. В случае динамической системы того типа, который рассматривался в
§ 155, указанные только что операции могут быть выполнены непосредственно
следующим образом.
С целью упростить формулы предположим, что динамическая система обратима,
т. е. что (/г) = (0). Поскольку координата gn, по предположению,
циклическая, то функция Лагранжа (1) § 155 запишется в виде
Л Я Я
L (qn, q'\ g*) = -5 2 2 *" (?*) 9* 9* + ^(?*). (19)
i=l А=1
где g* = (д:), ; = 1,...,re-1. Поэтому из (4) - (7) § 157 следует, что
гамильтонова функция с га - 1 степенями свободы, обо-
§§ 167-184. ИЗО ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ
161
вначавшаяся нами в § 182 при фиксированном с( = рп - Lq>n) через Я*,
может быть записана в следующем явном виде:
Эта функция совпадает с функцией (7) § 157, если положить в последней
н заменить п на п - 1. Формулы (4) - (6) § 157, определяющие переход от
(7) § 157 к (1) § 155, показывают, что функции Гамильтона (20)
соответствует функция Лагранжа (с п - 1 степенями свободы)
Последнее условие определяет положительно определенную (тг - 1)-матричную
функцию (gji), поскольку тг-матрица (gik) = = (gih)-1, а следовательно, и
(тг - 1)-матрица (gil) положительно определены в силу (2i) § 155.
Заметим, что консервативная функция Лагранжа (21) с тг - 1 степенями
свободы вообще необратимого типа ((fj*) Ф 0), хотя исходная функция
Лагранжа (19) обратимого типа ((fi) = (0)).
§ 184. Пусть тг = 2 и положим для простоты g\2 = 0. Тогда функция (20)
запишется в виде
Н'(с,р',д*) =
л-1 л-1 Л-1
(20)
л-1 л-1 п-1
где
. . II-1 Т* А
и* = и - - с>Г + 2 с2 Й S gjnSlngi"
fi = -с 2 gIngjh (gji)=(gjl) ~l-
If Л. Уинтнер
162 ГЛАВА 111. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
и согласно (21)
L' = -----------h{t/(gi)-~ (22)
2fti(9i) ^ 2 ga(qt)J
Таким образом функция L* обратимого типа. Это не случайность.
Действительно, любая динамическая (консервативная) система с одной
степенью свободы обратима. В самом деле, если q = q\, то функция (1)
примет вид
L = y(q)q'z + f(q)q' + U(q), (23)
где все величины - скаляры. Поскольку
/(?)=^ $/(?№.
то результаты, изложенные в § 156, показывают, что вместо (23) можно
рассматривать функцию
L = ^g(q)q'*+U(q).
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 185. Пусть п = 1, так что q = qi - скаляр, и предположим для простоты,
что область изменения q есть вся ось q. Поскольку система обратима (см. §
184), то
L=-2gq'*+U,
где g =¦g(q) > 0 в силу (2t) § 155. Интеграл энергии (3) § 155 имеет вид
^g(q)q'2 - U(q)= К
так что
q'* = F(q,h), (U)
Р 2(17(9) + *) ...
F(l2)
где g(q) > 0. Поэтому из .§§ 167-170 видно, что точки q = q(h) множества
Zи на оси q представляют собой корни (если они во-
§§ 185-163. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
163
обще имеются) уравнения F(q, h) =0. Кроме того, если решение q = q(t) с
энергией h таково, что при некотором t = t величина q = q(t) оказывается
корнем q^q(h) уравнения F(q, h) = 0, то это решение
или представляет собой равновесное решение q(t) = q, если частная
производная Fq(q,h) обращается при q = q в нуль (корень q кратный);
