Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
функцией Гамильтона (7) § 157 в смысле определения в § 15, то это не
имеет места в случае ла-гранжевой функции М. Эти утверждения вытекают из
того факта, что гессиан det(Af,'i9'fc) 3= 0 ¦ Справедливость же
последнего тождества очевидна, поскольку M = M(q', q, h) -однородная
функция первой степени относительно п компонент скорости q\ ,... . ..,
qn' или, точнее говоря,
XM(q',q,h)= M(Xq',q,h) (9)
при любом X > 0 *).
§ 175. Из однородности, выражаемой соотношением (9), вытекает, что в то
время как уравнения Лагранжа = 0 инвариантны (см. § 95) по отношению к
преобразованиям координат, лагранжевы уравнения [4/]Qi=0 инвариантны не
только по отношению к преобразованиям координат, но и по отношению к
преобразованиям времени. Действительно, если t = t(t) = некоторая
функция, обладающая в рассматриваемом г-интервале положительной
непрерывной производной и если_ обозначить
точкой дифференцирование по новой переменной t (так что q'=t'q), то,
полагая M = M(q,q,h), легко получим с учетом (9), что
[M\q = t'[M]q.
§, 176. Последнее замечание в § 175 согласуется с первым замечанием в §
174 и показывает, что если применить результат, изложенный в § 173, то
надо поступать следующим образом. __________
Если q = q(t) - решение системы [М]9 = 0, где М =
dq
= М (q, q, h) и q = -=¦, выраженное с помощью некоторой не-dt
зависимой переменной г, играющей роль времени, то t нельзя отличить от г.
Действительно, соответствующее решение q - q(t)
dq
системы [М] = 0, где М = M{q', q, h) и q' = - может быть всег-
dt
да получено с помощью формулы t = t(t), связывающей г и г.
*) Если Я, < 0, то в левой части (9) следует заменить X на -X, поскольку
квадратные корни в (2), (4) положительны (их можно выбрать и
отрицательными, однако они не могут быть то положительными, то
отрицательными, так как функции T'h, М не будут принадлежать классу С<2>,
если Т = 0, т. е. если д' = 0).
§§ 167-184. ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ
155
Эта связь может быть всегда установлена на основании условия, указанного
в § 173, согласно которому соотношение Т - U = h должно быть
удовлетворено, если независимой переменной является t. Действительно,
исходя из (Зг) и (4), мы можем написать формулу
Если решение q = q(t) системы [M]q = 0 известно, то формула t = t(t),
связывающая i и t, может быть получена из (10) обращением интеграла. В
частности, функция t(t) определяется с точностью до аддитивной
постоянной.
§ 177. Следует обратить внимание на тот используемый в дальнейшем факт,
что расположение одних лишь сопряженных точек уже дает ответ на вопрос,
достигает или не достигает функция (7з) абсолютного минимума на гладкой
экстремали вариационной проблемы bW - 0. То же самое справедливо и в
отношении проблемы бS = 0. Действительно, обе эти проблемы удовлетворяют
§ -условиям в их наиболее строгой форме. Прежде всего, если
и если га-мерные векторы (ri), (si) не таковы, что дг,- = vs,- для
соответствующей пары скаляров д, v, не зависящих от i, то
если только векторы г, s не пропорциональны друг другу. Таким образом,
функция Лагранжа М, однородная по q' (см. (9)), удовлетворяет § -условиям
в их наиболее строгой форме.
Соответствующее условие для неоднородной функции Лагранжа (3i)
записывается в виде
если только г,- ф Si при каком-либо i. В соответствии с (3i) и (Зг) это
условие удовлетворяется, если для
dt
* dt {2 (U(q) + h)}'l>
>0 (q = q't, д'ф 0). (10)
<?(r> s) = 2 'ZSihTiSk
Qz(r, s) < Q(r, r) ¦Q(s, s). Поэтому, рассматривая функцию (2), получим,
что
M(r,qxh) - M(s,q,h)- 2 (Ъ - st)M,t(s, q, h) > 0,
L(r, q) - L(s, g) - 2' - si)L'i (s> Ч) > 0,
Q(r,s) = 2 2Sikrish
156 ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
имеет место при гфэ неравенство
Q(г, S) <Q{Г, г) + -^Q(sxs),
т. е. если Q (г - s, г - s) >0 при тф s. Однако согласно предположению
(З2) Q(u, и) > 0 при и Ф 0, откуда и следует доказательство.
§ 178. Предположим, что L = Т, т. е. что функция (3i) обратимого типа
((/i) = (0)), а силовая функция U = 0. Тогда L = Н в силу (Hi) -¦ (Из) §
158 и интеграл энергии записывается в виде Т - h. Уравнения Лагранжа (22)
§ 163 сводятся к следующим:
q'i = - 22rW:f7ft.
т. е. к уравнениям геодезических линий риманова многообразия,
определяемого метрикой
ds2 = 2 Ijgih dqi dqh.
Таким образом, Т - 7гs'2 в силу (З2), так что 7гs'2 = h. Другими словами,
если дуга геодезической линии измеряется от t ~ 0 в направлении
возрастания t, то s = (2h)'H. В соответствии с этим функция Лагранжа (2)
запишется в виде М - (2h) '/"s'. Очевидно, что новая независимая
переменная t § 175 совпадает с длиной дуги тогда и только тогда,
когда М - s. Время t представит длину дуги s, если s' = 1, т.
е. если 2h = 1 и М = s' -
= (271)'/'.
§ 179. С целью обобщить предположения, сделанные в § 178, допустим
только, что функция L обратимого типа, т. е. что (Д) = = (0). Тогда (2)
приводится к
М - (2U(q) + 2h)'/" (2jT) '/", (11)
где
У = Sih(q)q'iqi
Можно также переписать М в виде
М={2Т)% (12)
где
Г - \ 2 gik(q>h)q'i qi gik=2(U + h)gik.
