Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 60

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 202 >> Следующая

Противоположное утверждение также является очевидным.
§§ 167-184. ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ
151
§ 171. Пусть задано фиксированное значение h. Определим функцию Лагранжа
М, полагая
M(q\ q, h) = 2Т'Ци + h)"А + 2 fa'i =
SS'Sik(q)qfqn )'W(?) + 2A)^ + 2^(?)?/, (2)
где функции fi, U переменной q = (q.;) являются, как и в § 155,
коэффициентами данной лагранжевой функции Ь\
b{q,q')^T+^fi{q)q[ + U{q), (3,)
где
г = }2.2М9)г^>о, (3.)
если ф 0. Система Шч = о обладает интегралом энергии Т - U = h и,
следовательно,
ГА= (С/ + А)'/*> 0, (4)
если =^= 0, т. е. если Т - U + h Ф 0. Смысл (4)
заключается,
конечно, в том, что разность Т - U равна вдоль любой интеграль-
ной кривой q - q(t) системы [L]q = 0 соответствующей постоянной h (см. §
82).
Рассмотрим теперь не только интегральные кривые с постоянной энергии h,
но и любую такую кривую q = q(t), что п-вектор-функция q(t) принадлежит в
рассматриваемом интервале классу С<2>, обладает не обращающейся в нуль
производной q'(t) и обращает соотношение (4) в тождество по t при
некотором значении h. Другими словами, допустим, что функция q = q(t)
удовлетворяет лишь интегралу энергии Т - U = h системы [L]q = 0 при
некотором фиксированном h - const, но не обязательно удовлетворяет самой
системе |Х]д - 0. Покажем, что вдоль любой такой кривой q = q(t) в
позиционном пространстве равенство
[L]q = [M]q (q' Ф 0) (5)
удовлетворяется тождественно по t в силу (4).
Поскольку члены 2 faq/ являются общими для обеих функций Лагранжа (3i) и
(2), то равенство (5) эквивалентно следующему:
T + U=2T'b(U+hyb
152
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Следовательно, учитывая определение лагранжевой производной (см. (1) §
9), получим, что (5) имеет место, если в силу (4)
(где Uq' == 0, поскольку U- функция одного лишь q = (qi))-Формула (Зг)
показывает далее, что для функции
Однако эти соотношения совпадают в силу (4) с (6), поскольку
Этим самым (5) доказано.
§ 172. Пусть q = q(t)-некоторая (не обязательно интегральная) кривая
класса С(2\ вдоль которой q'(t) Ф 0, и равенство Т - U = h
удовлетворяется при некотором h = const тождественно по t. Тогда,
интегрируя, функции Лагранжа (3) и (2) вдоль этой кривой,- получим
Действительно, сравнивая (72), (7з) с (Зг), (2), приходим к выводу, что
(7i) эквивалентно следующему соотношению:
которое удовлетворяется, очевидно, тождественно, если имеет место (4).
Отсюда вытекает справедливость не только (7i), но и
Tq'= {(2T)'b(2U + 2h)'b}'q',
Tq + Uq={ (2 Т) 'А (2 U + Щ V*},
(6)
{} = {(2Г),А(2"7 + 2Л)'А)
(27,)-,/a(2t/ + 2A),A= 1, V = 0.
S = -hi + W,
(7i)
где
a
(7a)
о
(
(7з)
о
Г I
j (T+U)dt = -ht + 2$ r'A(J7 + h)'bdt,
о
о
§§ 167-184. ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ
153
следующих формул:
t (
W = 2\Tdt + \ 'Zhqidt,
(8i)
о
о
t
(83)
О
причем (82) есть следствие (81) (ср. (З2) § 171 и (4) § 157).
Рассматривая условие (7) § 95 для обеих функций (7г) и (7з) и учитывая
(71), получим, что поскольку разность Г_- U равна, по предположению,
фиксированной постоянной, то bh = 0 и, следовательно, bS = 6W. Из (7г),
(7з) видно, что последнее тождество эквивалентно (5), откуда вытекает
новое доказательство (5).
Интеграл (7г) называется действием (по Гамильтону), а интеграл (7з) -
изоэнергетическим действием, соответствующим данной кривой q = ?(i).
Разумеется, интеграл (7г) (но не (7з)) можно рассматривать и тогда, когда
кривая q = q(t) не удовлетворяет соотношению Т - V = h.
§ 173. Из тождества bS = 6И^, т. е. из соотношения (5) следует вывод,
который часто называют принципом Мопертюи *). Подразумевается при этом
тот факт (с очевидностью вытекающий из § 171), что решения q - q(t)
лагранжевых уравнений [L]9i - О, соответствующие постоянной энергии h,
совпадают с решениями q = q(t) лагранжевых уравнений [M]qi =0,
удовлетворяющими соотношению Т - U = h. (В § 176 мы увидим, что это
соотношение является инвариантным соотношением для системы [М]д = = 0;
см. § 80.)
Заметим, что сказанное выше справедливо лишь тогда, когда q'(t) ф 0 (см.
§ 171). Действительно, если q'{t) = 0, то величина Т~'!\ используемая в
конце § 171, теряет свой смысл (см. (Зг)). В соответствии с изложенным в
§ 169 условие q'(t) ф ^ 0 в принципе Мопертюи исключает, с одной стороны,
точки равновесия, а с другой стороны, i-интервалы (если они имеются),
содержащие значения t = i°, при которых интегральная кривая в позиционном
пространстве имеет точку возврата. Другими словами, надо предположить
(см. § 168), что ни при каких i в рассматриваемом i-интервале точка q(t)
интегральной кривой с постоянной энергии h не принадлежит множеству Z/,.
*) Фактическое содержание этого "принципа" не было совсем ясным Мопертюи.
Точная формулировка, приведенная в тексте, принадлежит Якоби И его
предшественникам Эйлеру и Лагранжу.
154
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 174. Лагранжевы уравнения [L~\qi = 0 можно разрешить относительно qг"
(см. (22) § 163), однако этого нельзя сделать в случае лагранжевых
уравнений [M]qi - 0. Кроме того, если лагран-жева функция L связана с
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed