Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
= t° такое, что точка q (t°) принадлежит множеству Zh, a Uq(q(P)) = 0, то
q(t) есть равновесное решение q(t) = = q(t°). Из (iv) далее следует, что
(vi) если интегральная кривая q = q(t) с энергией h соответствует
равновесному решению, то или точка q(t) не принадлежит Zh ни при каком t,
или эта кривая достигает множества Zл при некотором t = t°, при
котором.#, (q (t°)) ф 0.
Разумеется, значение t° предполагается при этом конечным. В § 186 будет
показано, что точка q(t) решения q = q(t), являющегося равновесным и
соответствующим энергии А, может неограниченно приближаться к Zft при ? -
>- оо. Из последнего замечания в § 165 следует тогда лишь то, что
(vii) если для интегральной кривой q = q(t) с энергией h точки q(tn),
соответствующие бесчисленному множеству различных значений t\ < ti < h <
¦ ¦ • или > h > h > ..., принадлежат
§§ 167-184. И30ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ
149
Zн и если |in| не стремится к оо при гг-*- оо, то q(t) представля-
ет собой равновесное решение.
§ 168. Пусть q* - некоторая точка re-мерной области изменения q, а е -
достаточно малое положительное число. Обозначим тогда через Zе(0
множество тех точек q, для которых
Это множество представляет собой часть (лежащую в е-окрест-ности q*) того
множества Zл, которому принадлежит точка q* (см. (iii) § 167). Следует
различать при этом два случая, когда градиент силовой функции или
обращается в нуль в заданной точке позиционного пространства (случай I)
или не обращается (случай II).
I. Предположим сначала, что q* - точка равновесия. Тогда ^ч(ч') - О (см-
§ 165) и формула Тейлора для разности U(q) - U(q') не содержит
линейных членов. Из определения множества Z е(д*) видно, что его
структура (размерность и т. д.) зависит от членов высшего порядка.
Обычный случай тот, когда Ze(g*) состоит из конечного числа (п - 1)-
мерных областей, пересекающихся друг с другом вдоль (п - 2)-мерных
подобластей "гиперповерхности" Ze(g*). Из (I) также видно, что Ze(q*)
состоит или не состоит из одной точки q* в зависимости от того, является
или не является эта точка изолированным экстремумом силовой функции U(q).
II. Если q' не есть точка равновесия, то структура ZE(g*) определяется
единственным образом. Действительно, в этом случае Uq(4*) ^ 0 (см. §
165). Следовательно, к (I) применима локальная теорема существования
неявной функции. Эта теорема показывает, что Ze(g*) состоит из (гг - 1)-
мерной поверхности, содержащей q*, не имеющей линий самопересечения и
обладающей в каждой точке конечной и непрерывной нормалью. Из (I) также
видно, что поскольку градиент Ug(q) отличен от нуля при q = g*
(следовательно, и при | q - q* | < е), то гиперповерхность U(q) = -h,
проходящая через q* (т. е. множество Z^), разделяет е-окрестность точки
q* на две и-мерпые области q, в одной из которых U(q) + h > 0, а в другой
U(q) + h < 0.
I? - 5*1 < е, - U(q) = h,
(1)
где h = -U(q*),
§ 169. Сопоставляя последнее замечание в § 168 с (г), (уг), (vii) § 167 и
полагая q' = q№), придем к выводу, что если для
150
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
интегральной кривой q = q(t) с энергией h вектор скорости q' обращается
при t = t° в нуль, то возможны два случая:
(I) интегральная кривая вырождается в единственную точку q(t) = q(t0)-,
этот случай характеризуется обращением в нуль Uq(q) в точке q = q(t°)
множества Zь;
(II) решение не является равновесным, т. е. Uq(q(t0)) ф 0; точки
интегральной кривой q = q(t) и при t > t° и при t < t° (во всяком случае,
при достаточно малых 11 - t° \) лежат по одну и ту же сторону от
гиперповерхности Z/t.
В соответствии со сказанным интегральная кривая с энергией h никогда не
может пересечь гиперповерхность Zтак как эта кривая или вырождается в
единственную точку, принадлежащую Zили как бы "отражается" от этой
гиперповерхности (если вообще ее достигает).
§ 170. В упомянутом только что случае интегральная кривая "отражается" от
гиперповерхности Z/t (а также "падает" на нее) в направлении трансверсали
к Z/,, определяемой римановой метрикой (gih) позиционного пространства
(см. § 164). Это означает, другими словами, следующее. Пусть для
интегральной кривой q = q(t) с энергией h существует такое t = ?°, что
точка q(ta) - = q° принадлежит Zh, но Uq(q°) Ф 0, т. е. что q' (t°) =0,
но q'(t) Ф 0 при малых t - 2° ^ 0. Тогда q'(t) 0 как при
? ->- ?° -(- 0, так и при ? -?° - 0, причем тангенциальный вектор д' (?)
/ | д' (?) ] вдоль кривой в позиционном пространстве направлен в точке q°
вдоль риманового перпендикуляра к Zл.
Поскольку вектор нормали к гиперповерхности Zh-. -U(q) = h в точке q° =
q(t°) определяется формулой
. JWL
1^(7°) I'
для доказательства высказанного выше утверждения достаточно проверить,
что
2 (t)Uq.(q°) | {2S,gih(e°)g; (0?i(0}~AX
?->*°± 0.
Это соотношение вытекает из (23i) - (23г), поскольку (gik) = = (gih)-1.
Утверждение в § 166 о необходимости появления точек возврата в случае
q'(P) = 0 Ф l'(t) представляет собой естественное следствие доказанного.
